分式方程的增根與無解

趙密密

分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個(gè)概念，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)分式方程后，常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清. 分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值；而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等. 它包含兩種情形：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解.

例1 （2014·山東聊城）解分式方程：+=-1.

解：去分母得：-（x+2）2+16=4-x2，

去括號(hào)得：-x2-4x-4+16=4-x2，

解得：x=2，

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，分式方程無解.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，當(dāng)求得的x值恰好使最簡(jiǎn)公分母為零時(shí)，x的值就是增根. 本題轉(zhuǎn)化的整式方程的解是x=2，恰好使公分母為零，所以x=2是原方程的增根，原方程無解.

例2 解分式方程：=+2.

【解析】去分母后化為x-1=3-x+2（2+x）.

整理得0x=8.

因?yàn)榇朔匠虩o解，所以原分式方程無解.

【點(diǎn)評(píng)】本題化為整式方程后，本身就無解，當(dāng)然原分式方程肯定就無解了. 由此可見，分式方程無解不一定就是產(chǎn)生增根.

例3 （2013·山東威海）若關(guān)于x的方程=無解，則m=_______.

【解析】原方程可化為=.

方程兩邊都乘2（x-5），

得2（x-1）=-m.

解這個(gè)方程，得x=.

因?yàn)樵匠虩o解，所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根. 即x=5，

解得m=-8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解. 方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.因?yàn)橥瑢W(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個(gè)根，所以如果這個(gè)根是原方程的增根，那么原方程無解. 但是同學(xué)們并不能因此認(rèn)為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學(xué)知識(shí)的加深，同學(xué)們便會(huì)明白其中的道理，這里不再舉例.

例4 （2005·江蘇揚(yáng)州）

若方程-=1有增根，則它的增根是（ ）.

A. 0 B. 1

C. -1 D. 1或-1

【解析】原方程化成整式方程：

6-m（x+1）=x2-1，

整理得：m（x+1）=7-x2，

當(dāng)x=-1時(shí)，此時(shí)m無解；

當(dāng)x=1時(shí)，解得m=3.

【答案】B.

【點(diǎn)評(píng)】增根除滿足最簡(jiǎn)公分母為零以外，還必須是所化整式方程的根.

例5 當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程+=會(huì)產(chǎn)生增根？

【解析】方程兩邊都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2），

整理得（a-1）x=-10， ①

若原分式方程有增根，則x=2或-2是方程①的根.

把x=2或-2代入方程①中，解得a=-4或6.

【點(diǎn)評(píng)】此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.

例6 當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程+=無解？

【解析】方程兩邊都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+ax=3（x-2）.

整理得（a-1）x=-10， ①

若原方程無解，則有兩種情形：

（1）當(dāng)a-1=0（即a=1）時(shí)，

方程①為0x=-10，此方程無解，

所以原方程無解.

（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解.

原方程若有增根，增根為x=2或-2，

把x=2或-2代入方程①中，

求出a=-4或6.

綜上所述，a=1或a=-4或a=6時(shí)，原分式方程無解.

【點(diǎn)評(píng)】本題弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系，能幫助我們提高解分式方程的正確率，對(duì)判斷方程解的情況有一定的指導(dǎo)意義.

（作者單位：江蘇省淮安外國(guó)語學(xué)校）