以分式作利器，解生活之難題

王祖韜

分式方程廣泛應用于實際生產、生活中，因此列分式方程解決實際問題成為近幾年中考的熱點，也是今后中考命題的發展趨勢. 近年來的中考中經常結合實際生活進行命題，生活氣息越來越濃，與我們生活息息相關的試題越來越多地出現在各地的中考試卷中，例如工作效率問題、行程問題、銷售問題、方案設計問題等，題型以解答題為主難度稍大，學科內的綜合問題，學科間交叉題均可出現. 解決這類問題的關鍵是找出題中蘊含的相等關系，據此列出方程，另外還應注意檢驗. 本文將結合2014年中考題談談這類問題的分析解答過程，供同學們學習時參考.

一、 工程問題

例1 （2014·廣東梅州）某校為美化校園，計劃對面積為1 800 m2的區域進行綠化，安排甲、乙兩個工程隊完成. 已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍，并且在獨立完成面積為400 m2區域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天.

（1）求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少m2？

（2）若學校每天需付給甲隊的綠化費用為0.4萬元，乙隊為0.25萬元，要使這次的綠化總費用不超過8萬元，至少應安排甲隊工作多少天？

【分析】（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x m2，根據在獨立完成面積為400 m2區域的綠化時，甲隊比乙隊少用4天，列出方程，求解即可；

（2）設至少應安排甲隊工作x天，根據這次的綠化總費用不超過8萬元，列出不等式，求解即可.

解：（1）設乙工程隊每天能完成綠化的面積是x m2，根據題意得：-=4，

解得：x=50.

經檢驗x=50是原方程的解.

則甲工程隊每天能完成綠化的面積是50×2=100（m2），

答：甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是100 m2、50 m2.

（2）設至少應安排甲隊工作y天，根據題意得：

0.4y+×0.25≤8，

解得：y≥10.

答：至少應安排甲隊工作10天.

【點評】此題考查了分式方程的應用，關鍵是分析題意，找到合適的數量關系列出方程和不等式，解分式方程時要注意檢驗.

二、 行程問題

例2 （2014·湖北襄陽）甲、乙兩座城市的中心火車站A、B兩站相距360 km. 一列動車與一列特快列車分別從A、B兩站同時出發相向而行，動車的平均速度比特快列車快54 km/h，當動車到達B站時，特快列車恰好到達距離A站135 km處的C站. 求動車和特快列車的平均速度各是多少？

【分析】設特快列車的平均速度為x km/h，則動車的平均速度為（x+54）km/h，等量關系：動車行駛360km與特快列車行駛（360-135）km所用的時間相同，列方程求解.

解：設特快列車的平均速度為x km/h，

則動車的平均速度為（x+54）km/h，

由題意，得：=，

解得：x=90，

經檢驗得：x=90是這個分式方程的解.

x+54=144.

答：特快列車的平均速度為90 km/h，動車的平均速度為144 km/h.

【點評】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，得到等量關系：動車行駛360 km與特快列車行駛（360-135）km所用的時間相同.

三、 銷售問題

例3 （2014·山東泰安）某超市用3 000元購進某種干果銷售，由于銷售狀況良好，超市又調撥9 000元資金購進該種干果，但這次的進價比第一次的進價提高了20%，購進干果數量是第一次的2倍還多300千克，如果超市按每千克9元的價格出售，當大部分干果售出后，余下的600千克按售價的8折售完.

（1）該種干果的第一次進價是每千克多少元？

（2）超市銷售這種干果共盈利多少元？

【分析】（1）設該種干果的第一次進價是每千克x元，則第二次進價是每千克（1+20%）x元. 根據第二次購進干果數量是第一次的2倍還多300千克，列出方程，解方程即可求解；

（2）根據利潤=售價-進價，可求出結果.

解：（1）設該種干果的第一次進價是每千克x元，則第二次進價是每千克（1+20%）x元，

由題意，得=2×+300，

解得x=5，

經檢驗x=5是方程的解.

答：該種干果的第一次進價是每千克5元.

（2）

+-600×9+600×9×80%-（3 000+9 000）=（600+1 500-600）×9+4 320-12 000=1 500×9+4 320-12 000=13 500+4 320-12 000=5 820（元）.

答：超市銷售這種干果共盈利5 820元.

【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

四、 方案設計問題

例4 （2014·黑龍江牡丹江）學校計劃選購甲、乙兩種圖書作為“校園讀書節”的獎品. 已知甲種圖書的單價是乙種圖書單價的1.5倍；用600元單獨購買甲種圖書比單獨購買乙種圖書要少10本.

（1）甲、乙兩種圖書的單價分別為多少元？

（2）若學校計劃購買這兩種圖書共40本，且投入的經費不超過1 050元，要使購買的甲種圖書數量不少于乙種圖書的數量，則共有幾種購買方案？

【分析】（1）總費用除以單價即為數量，設乙種圖書的單價為x元，則甲種圖書的單價為1.5x元，根據兩種圖書數量之間的關系列方程；

（2）設購進甲種圖書a本，則購進乙種圖書（40-a）本，根據“投入的經費不超過1 050元，甲種圖書數量不少于乙種圖書的數量”列出不等式組解決問題.

解：（1）設乙種圖書的單價為x元，則甲種圖書的單價為1.5x元，由題意得-=10，解得：x=20.

經檢驗得：x=20是這個分式方程的解，

則1.5x=30.

答：甲種圖書的單價為30元，乙種圖書的單價為20元.

（2）設購進甲種圖書a本，則購進乙種圖書（40-a）本，根據題意得

30a+20（40-a）≤1 050，

a≥40-a，

解得：20≤a≤25，

所以a=20、21、22、23、24、25，則40-a=20、19、18、17、16、15共6種方案.

【點評】此題考查分式方程的運用、一元一次不等式組的運用，關鍵是理解題意，抓住題目蘊含的數量關系解決問題.

列分式方程解決實際問題與列一元一次方程解決實際問題的基本思路和基本方法是一樣的，關鍵是仔細審題，認真分析，探索出問題中的等量關系，列出方程. 但分式方程解應用題過程中還要注意進行“雙檢驗”，既要檢驗求得的未知數的值是否為所列方程的增根，又要檢驗是否符合實際意義.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）