類比“分數”善學“分式”

李迎新

一、 分式的加減運算中，遇到異分母的分式加減運算時通分是關鍵，而通分的關鍵是找最簡公分母，正確找到最簡公分母是進行加減運算的前提.

例1 將下列分式通分：

，.

【分析】當分式的分母是多項式時，首先應考慮分解因式，然后再確定最簡公分母，最后通分.

解：因為x2-2x=x（x-2），

x2-4x+4=（x-2）2，

所以，最簡公分母是x（x-2）2.

所以，==，

==.

二、 分式的基本性質是解決分式相關問題的基礎，學習時一定要牢記并能用其解決問題.

例2 不改變分式的值，把分式中的分子、分母的各項系數都化為整數.

【分析】分子中的分母是3和5，而分母中的分母是3和4，所以分子、分母同時乘3、4、5的最小公倍數60即可.

解：原式==.

三、 解分式方程去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是個含有字母的式子，這個式子有可能為零，此時對于整式方程來說，求出的根成立，而對于分式方程來說，分式無意義，這個根稱為分式方程的增根. 因此解分式方程一定要驗根.

例3 若分式方程-1=有增根，則m的值為（ ）.

A. 0和3 B. 1

C. 1和-2 D. 3

【分析】將分式方程去分母，求出x=m-2，此時，因為分式方程有增根，所以增根可能是x=1或者x=-2. 當x=1時，m=3；當x=-2時，m=0. 而當m=0時，原方程變形為x=x-1，與x=-2矛盾. 所以m的值為3.

【答案】D.

四、 分式方程無解包含兩個方面，一是去分母之后的整式方程有解，但此解使原分式方程的分母無意義（即此解是分式方程的增根），從而導致分式方程無解；二是去分母之后的整式方程本身就無解，從而使原方程無解.

例4 若關于x的分式方程-1=0無解，則a的值為_______.

【分析】首先去分母將分式方程化成整式方程得（a-1）x=-2，然后分類討論：

1. 當a-1≠0時，則x=-，因為原方程無解，故-=1，得a=-1；

2. 當a-1=0即a=1時，此整式方程無解，所以原分式方程無解.

【答案】1或-1

五、 分式是代數式的重要組成部分，因此中考也常常考查與其他知識點相結合的問題.

例5 已知x+=3，求x2+的值.

【分析】本題可以從兩個方面（已知或結論入手）：

（解法一）

由x+=3，兩邊同時平方得x

+2=9，從而可得x2+=9-2=7.

（解法二）

x2+=x2++2x·-2x·

=x

+2-2

=9-2=7.

【答案】7.

例6 若=20，=10，則=_____.

【分析】本題可以從兩個方面入手：

（解法一）

由=20可得a=20b；由=10可得c=b，然后把a和c的值代入即可求解.

（解法二）

把分式的分子分母同時除以b可得，=，然后把已知條件代入即可求解.

【答案】.

分式是分數的拓展延伸，在學習分式這一章的過程中，我們可以類比曾經學習分數相關知識的方法，在充分理解概念的基礎上，熟練運用分式的相關性質來解決問題.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）