活動(dòng)與探究：平行四邊形中心對(duì)稱性的應(yīng)用

徐怡

平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）是“中心對(duì)稱圖形”，平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的中心對(duì)稱性在學(xué)習(xí)與生活中有著廣泛的應(yīng)用，下面我們一起來探究平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的中心對(duì)稱性的簡單應(yīng)用.

活動(dòng)1：如圖，?ABCD.

探究：

（1）畫一條直線，把?ABCD分成兩個(gè)形狀相同、面積相等的三角形.

這樣的直線能畫出_______條.

【分析】連接AC或BD即可.

（2）畫一條直線，把?ABCD分成形狀相同、面積相等的兩部分；

①這樣的直線能畫出_______條.

②這些直線都經(jīng)過_______的交點(diǎn)，即?ABCD的_______.

【分析】嘗試過對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)O畫直線.

（3）結(jié)論：過平行四邊形對(duì)稱中心的任意一條直線都能把平行四邊形分成形狀相同、面積相等的兩部分.

活動(dòng)2：（1）如圖，在矩形ABCD中，AD>AB，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的一條直線分別交BC、AD于點(diǎn)M、N.

求證：梯形ABMN的面積=梯形CDNM的面積.

【分析】證明：連接BD，在矩形ABCD中，

∵O是對(duì)角線的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)稱中心，

∴OB=OD，OM=ON，∠BOM=∠DON，

∴△BOM≌△DON，∴BM=DN.

又∵AD=BC，∴AN=CM.

又∵AB=CD，

∴梯形ABMN的面積===梯形CDNM的面積.

即：梯形ABMN的面積=梯形CDNM的面積.

（2）利用上述結(jié)論，請(qǐng)你完成下面操作：

如圖①，是一塊“L”型土地，現(xiàn)要將其平均分配給兩家農(nóng)戶栽種農(nóng)作物，應(yīng)該怎樣分配？畫出分配后的圖形.

圖① 圖②

【分析】思考“L”型圖形和矩形之間的聯(lián)系，將圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹案睢薄把a(bǔ)”，將“L”型圖形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)矩形，分別確定其對(duì)稱中心O、P，將兩個(gè)對(duì)稱中心連接起來即可（如圖②）.

活動(dòng)3：正方形土地ABCD，要在其上面修筑兩條筆直的小路（小路寬度不計(jì)），使小路把這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分，請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的修筑方案.

【分析】根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性和中心對(duì)稱性，不難找出下面三種不同方案：

方案①中：對(duì)角線AC、BD將正方形ABCD分成形狀相同且面積相等的四個(gè)三角形：△AOB、△BOC、△COD、△DOA.

方案②中：直線EG、FH經(jīng)過對(duì)稱中心O且互相垂直.小正方形AEOH、BEOF、CGOF、DGOH形狀相同、面積相等.

方案③中：直線EG、FH經(jīng)過對(duì)稱中心O且AE=BF=CG=DH. 四邊形AEOH、BEOF、CGOF、DGOH形狀相同、面積相等.

在平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的學(xué)習(xí)過程中，要熟練掌握平行四邊形（含矩形、菱形、正方形）的性質(zhì)，充分利用其中心對(duì)稱性是解決這類問題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)外國語學(xué)校）