平行四邊形中考點擊

王軍

四邊形知識是中考的重點內容，縱觀近幾年的中考試題，四邊形以其獨特的魅力占據了一席之地，試題從拼圖、剪切、分割到閱讀理解、科學探究發現應有盡有，題型涉及填空、選擇、解答題等各種形式，尤其重視的是與四邊形相關的開放探索性問題. 估計四邊形試題將繼續保持綜合性，加大開放性，增強探索性，體現應用性.

考點一 平行四邊形的判定方法

1. （2014·云南昆明）如圖1所示，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（ ）.

A. AB∥CD，AD∥BC

B. OA=OC，OB=OD

C. AD=BC，AB∥CD

D. AB=CD，AD=BC

【分析】根據平行四邊形的判定定理分別判斷得出答案即可.

【解答】A. 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故此選項正確；B. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故此選項正確；C. 一組對邊相等，另一組對邊平行，不能判定其為平行四邊形，故此選項錯誤；D. 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故此選項正確. 故選C.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，正確把握平行四邊形的判定定理是解題關鍵.

考點二 平行四邊形的性質

2. （2014·湖南益陽）如圖2所示，平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的兩點，如果添加一個條件使△ABE≌△CDF，則添加的條件不能是（ ）.

A. AE=CF B. BE=FD

C. BF=DE D. ∠1=∠2

【分析】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定. 利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定分別得出即可.

【解答】A. 當AE=CF，無法得出△ABE≌△CDF，故此選項符合題意；B. 當BE=FD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF，

BE=FD，

AB=CD，

∴△ABE≌△CDF（SAS），故此選項錯誤；C. 當BF=DE，∴BE=FD，同上可得△ABE≌△CDF，故此選項錯誤；D. 當∠1=∠2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠ABE=∠CDF，∴△ABE≌△CDF，故此選項錯誤. 故選A.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.

3. （2014·安徽）如圖3所示，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結論中一定成立的是_______. （把所有正確結論的序號都填在橫線上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF.

【分析】本題考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線的性質. 分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對應線段之間關系進而得出答案.

【解答】①∵F是AD的中點，∴AF=FD，∵在?ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此選項正確；②延長EF，交CD延長線于點M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F是AD中點，∴AF=FD，在△AEF和△DMF中，

∠ A=∠MDF，

AF=FD，

∠AFE=∠MFD，

∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=FM，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM=EF，故此選項正確；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故此選項錯誤；④設∠FEC=x，則∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此選項正確，故答案為①②④.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出△AEF≌△DMF是解題關鍵.

考點三 平行四邊形和三角形聯合命題

4. （2014·江蘇南京）如圖5所示，在矩形AOBC中，點A的坐標是（-2，1），點C的縱坐標是4，則B、C兩點的坐標分別是（ ）.

A.

，3、

-，4

B.

，3、

-，4

C.

，、

-，4

D.

，、

-，4

【分析】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質. 首先過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，易得△CAF≌△BOE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案.

【解答】過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F.

∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，

∴∠CAF=∠BOE.

在△ACF和△OBE中，

∠F=∠BEO=90°，

∠CAF=∠BOE，

AC=OB，

∴△CAF≌△BOE（AAS），

∴BE=CF=4-1=3.

∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，

∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，

∴△AOD∽△OBE，

∴=，即=，

∴OE=，即點B

，3，∴AF=OE=，

∴點C的橫坐標為-

2-=-，

∴點C

-，4. 故選B.

【點評】此題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數形結合思想的應用.

5. （2014·江蘇泰州）如圖7所示，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC.

（1）求證：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積.

【分析】（1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結論；

（2）首先過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，易求得DG與DE的長，繼而求得答案.

【解答】（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，

∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，

∴AF=DE，

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠ABD=∠DBE，

∴∠DBE=∠BDE，

∴BE=DE，

∴BE=AF.

（2）解：過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，如圖8.

∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，

∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四邊形ADEF的面積為DE·DG=6.

【點評】此題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識. 此題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數形結合思想的應用.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區外國語學校）