一道例題的多種解法

霍一自

一題多解在數學中非常重要，它可以將所學的知識靈活運用，對培養大家的邏輯思維能力和幾何證明能力有很好的作用，對學習數學知識、理解數學問題都是極為重要的.

例：如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，它的兩條對角線相交于點O，點E是DO的中點，點F是BO的中點. 連接AE、CE、AF、CF，試說明四邊形AFCE是平行四邊形的理由.

【分析】判斷一個四邊形是平行四邊形可以有多種方法：①平行四邊形的定義；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

（方法一）利用平行四邊形的定義

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO.

因為點E是DO的中點，點F是BO的中點，

所以DE=BF，

所以△ADE≌△CBF，

所以∠DAE=∠BCF.

因為∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

所以∠AEO=∠CFO，

所以AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

所以AF∥EC，

所以四邊形AFCE是平行四邊形.

（方法二）利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

由方法一知△ADE≌△CBF，

所以AE=FC.

同理AF=EC，

所以四邊形AFCE是平行四邊形.

（方法三）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

由方法一知AE∥CF，

又因為△ADE≌△CBF，

所以AE=CF，

所以四邊形AFCE是平行四邊形.

（方法四）利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以OA=OC，OB=OD.

因為點E、F分別是OD、OB的中點，

所以OE=OF，

所以四邊形AFCE是平行四邊形.

從上面的證明過程可以看出，一個問題可以有不同的思考方法. 采用不同的方法處理問題，從不同的角度思考問題，利用不同的已有知識解決問題，使用不同的依據來支撐問題，我們就得到了不同的解決問題的方法和步驟. 一題多解，正是為了訓練同學們從各個角度，用各種方式思考、解決問題.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區外國語學校）