平行四邊形中的數學思想方法

許峰

數學思想是對數學內容的進一步提煉和概括，是對數學內容的一種本質認識，數學方法是實施有關數學思想的一種方式、途徑、手段，數學思想方法是數學發現、發明的關鍵和動力. 抓住數學思想方法，善于迅速調用數學思想方法，更是提高解題能力根本之所在. 為了方便同學們快速解決平行四邊形的問題，現將平行四邊形中常用的數學思想方法略作介紹如下.

一、 轉化思想

轉化思想要求我們居高臨下地抓住問題的實質，在遇到較復雜的問題時，能夠辯證地分析問題，通過一定的策略和手段，使復雜的問題簡單化，陌生的問題熟悉化，抽象的問題具體化. 具體地說，比如把隱含的數量關系轉化為明顯的數量關系；把從這一個角度提供的信息轉化為從另一個角度提供的信息. 轉化的內涵非常豐富，已知與未知、數量與圖形、概念與概念、圖形與圖形之間都可以通過轉化，來獲得解決問題的轉機. 在解決四邊形有關問題時，常利用轉化思想，通過添加適當的輔助線，把四邊形轉化為三角形，或把一般四邊形轉化為特殊四邊形等.

例1 如圖1，△ABC中，AB=8，AC=6. AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是_________.

【分析】要確定AD的取值范圍，聯想到三角形三邊關系，但又不能把AB、AC和AD放在同一個三角形里，故不能直接利用三角形三邊關系，由AD是中線，聯想到延長中線，得到平行四邊形，得AB=CE，將已知量與未知量集中到三角形中來求解.

解：延長AD到點E，使DE=AD，連接BE、CE.

∵BD=CD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴CE=AB=8，在△ACE中，8-6

【點評】當題中有三角形的中線時，可延長中線，構造平行四邊形，這種作輔助線的方法在解題中經常用到，要注意掌握.

例2 如圖2，在?ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，求證：EF=CF.

【分析】利用中點F，延長EF交CD于點M，分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對應線段之間關系進而得出答案.

【解答】證明：如圖3，延長EF，交CD延長線于點M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F為AD中點，∴AF=FD，在△AEF和△DMF中，

∠A=∠FDM，

AF=DF，

∠AFE=∠DFM，

∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=FM，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=EF.

【點評】由中點延長構造全等三角形是本題的關鍵. 本題也可以過點F作FN∥AB，將問題轉化到三角形FEC中，借助“三線合一”解題，同學們可以自己試一試.

二、 方程思想

方程和方程組是解決應用題、實際問題和許多方面的數學問題的重要基礎知識，應用范圍非常廣泛. 很多數學問題，特別是有未知數的幾何問題，就需要用方程或方程組的知識來解決. 在解決問題時，把某個未知量設為未知數，根據有關的性質、定理或公式，建立起未知數和已知數間的等量關系，列出方程或方程組來解決，這就是方程思想. 具有方程思想就能夠很好地求得問題中的未知元素或未知量，這對解決和計算有關的數學問題，特別是綜合題，是非常需要的.

例3 如圖4，?ABCD的周長是36，由鈍角頂點D向AB、BC引兩條高DE、DF，且DE=4，DF=6，求這個平行四邊形的面積.

【分析】由周長可知AB+BC=18，由面積可知，DE×AB=DF×BC，即4AB=6CD.

【解答】設AB為x，CD為y.

由題意得x+y=18，

4x=6y，解得x

=，

y

=.

則平行四邊形的面積為4x=43.

【點評】在幾何計算中，通過設立未知數，借助幾何的定義、公式或題目的條件，建立方程或方程組來解決問題，是一種重要的解題思想方法，是幾何問題代數化的體現.

三、 數形結合

數學家華羅庚說得好：“數形結合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數統一體，永遠聯系莫分離. ”幾何圖形的形象直觀，便于理解，代數方法的一般性，解題過程的機械化，可操作性強，便于把握，因此數形結合思想是數學中重要的思想方法. 所謂數形結合就是根據數學問題的題設和結論之間的內在聯系，既分析其數量關系，又揭示其幾何意義，使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，并充分地利用這種結合，探求解決問題的思路，使問題得以解決的思考方法.

例4 在?ABCD中，下列結論一定正確的是（ ）.

A. AC⊥BD B. ∠A+∠B=180°

C. AB=AD D. ∠A≠∠C.

【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，畫出圖形，可得AD∥BC，即可證得∠A+∠B=180°.

【解答】如圖5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°.

故選B.

【點評】此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用.

例5 如圖6，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，求的值.

【分析】（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；

（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案.

【解答】（1）證明：由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，

∴∠ANM=∠CMN，∴∠CMN=∠CNM，

∴CM=CN；

（2）解：如圖7，過點N作NH⊥BC于點H，

則四邊形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC，

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3∶1，

∴===3，

∴MC=3ND=3HC，

∴MH=2HC，

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，DC==2x，∴HN=2x，

在Rt△MNH中，MN==2x，∴==2.

【點評】此題應用了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理以及三角形的面積. 注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用.

四、 分類討論

分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究時，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”. 分類討論思想本質上是“化整為零，積零為整”. 運用分類討論思想解題的基本步驟是：（1）確定討論對象和確定研究的全域；（2）對所討論的問題進行合理分類（分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級）；（3）逐類討論：即對各類問題進行詳細討論，逐步解決；（4）歸納總結，整合得出結論.

例6 學校要在花園里栽四棵樹，已知其中三棵如圖8所示，請你栽上第四棵樹，使得這四棵樹組成平行四邊形.

【分析】由平行四邊形定義可知，AB，AC，BC皆可作平行四邊形的對角線，故有三種情況，分別過A，B，C三點作BC，AC，AB的平行線.

【解答】如圖9.

【點評】明確如何分類是解決本題的關鍵.

例7 在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，則?ABCD的周長等于_______.

【分析】根據題意分別畫出圖形，BC邊上的高可以在平行四邊形的內部和外部，進而利用勾股定理求出即可.

【解答】

如圖10，∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，

BE==3，

∴AD=BC=5，

∴?ABCD的周長等于20.

如圖11，

∵在?ABCD中，BC邊上的高為4，AB=5，AC=2，

∴EC==2，AB=CD=5，

BE==3，∴BC=3-2=1，

∴?ABCD的周長等于1+1+5+5=12.

則?ABCD的周長等于12或20.

【點評】借助三角形的知識可知，BC上的高可以在△ABC內部和外部，準確地畫出圖形，利用分類討論得出BC的長是解題關鍵.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區外國語學校）