揭秘“畫家幻方”

黑馬三

如果說藝術(shù)家有不按常理出牌的特點(diǎn)，想必大家可以理解。不過，中世紀(jì)德國著名畫家阿爾勃列希特·杜勒（1471～1528）在其功成名就之時，突然宣布開始轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)研究，這種跨度似乎就難用心血來潮或別出心裁來解釋了。即便如此，這位酷愛幻方的畫家為其1514年的名作《憂郁》添加的一個特別的背景——四階幻方（如下圖），足以顯示自己業(yè)余愛好的非凡水準(zhǔn)。

用數(shù)學(xué)眼光來判斷，這個畫家苦心經(jīng)營的四階幻方看似非常普通。唯一比較鮮明的是，幻方最后一行中間兩個數(shù)是15，14，恰好隱含了作畫的年代，似乎也僅此而已。由于已經(jīng)構(gòu)成的四階幻方已達(dá)880種，為數(shù)眾多，各有秋千，精彩紛呈，所以人們當(dāng)初并沒有對畫中幻方高看一等。而到了本世紀(jì)，當(dāng)幻方專家重新瀏覽這則幻方時，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)百年來“有眼不識泰山”，這個幻方蘊(yùn)含著被人們忽視的種種特性足以讓人刮目相看。

⑴在這個幻方中，角上四數(shù)之和16+13+4+1=34，等于四階幻方的和常數(shù)，這可不是幻方的常規(guī)要求，看似無心卻是有意。

⑵在這個幻方中，角上的四個2×2小正方形和中央的一個2×2小正方形的四數(shù)之和仍等于幻方常數(shù)。即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1=10+11+6+7=34，其中奇巧讓人眼前一亮。

⑶在這個幻方中，對角線上8個數(shù)字之和等于不在對角線上的8個數(shù)字之和。即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68，這顯然出乎人們意料和想象。

⑷這還沒完，繼續(xù)嘗試又有新發(fā)現(xiàn)：對角線上8個數(shù)字的平方和等于不在對角線上的8個數(shù)字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748，這就更為奇巧難得了。

⑹不難理解，繼續(xù)下面的嘗試可以發(fā)現(xiàn)：對角線上8個數(shù)字的立方和等于不在對角線上的8個數(shù)字的立方和，大家不妨驗證一下，和數(shù)都為9 248。……