整體不一定大于部分

陳德前

我們先來了解一下集合的有關概念：集合是具有某種特定性質的事物的總和。這里的“事物”包含的對象非常豐富，可以是人，比如在做廣播操時，各個班級的同學站在一起，每一個班級的同學都組成了一個集合；可以是物品，比如全校的黑板擦放在一起就組成了一個黑板擦的集合；也可以是數學元素，比如所有正整數組成了一個集合，所有無理數組成了一個集合。

19世紀70年代康托爾創立了著名的集合論。在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈，因而集合論成為現代數學的基石。集合論產生后，數學家們以為數學的嚴格性終于實現了，人們把數學基礎理論的不矛盾性歸結為集合論的不矛盾性。

可是，英國科學家羅素認為集合論是自相矛盾的，沒有相容性。這就是著名的羅素悖論，或者說是“集合論”悖論。通俗地講，我們知道整體大于部分，可羅素悖論卻告訴我們：整體并不一定大于部分，或者說部分并不一定小于全部。我們可以通過一個例子來說明羅素悖論的含義：

甲乙兩個人進行寫數字比賽，甲寫出一個整數，乙把它乘以2就得到一個偶數。

甲：1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，……

乙：2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，……

這樣你來我往，偶數與整數一樣多。

但是我們知道，整數是由奇數和偶數構成的，一般都認為整數的個數多于奇數或偶數的個數，也就是整體必然大于部分。