帶摩擦補償的滾珠絲杠副進給系統自適應滑模控制

包達飛 湯文成 董 亮

(東南大學機械工程學院,南京211189)

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帶摩擦補償的滾珠絲杠副進給系統自適應滑模控制

包達飛 湯文成 董 亮

(東南大學機械工程學院,南京211189)

為了提高滾珠絲杠副進給系統的跟蹤性能,采用了帶摩擦補償的自適應滑模控制方法.基于滾珠絲杠副進給系統軸向振動特性建立了兩自由度的質量模型,根據模型的狀態方程設計了系統的反演滑模控制器,考慮到外界干擾的影響設計了帶自適應律的自適應滑模控制器.采用基于Stribeck摩擦模型的摩擦補償方法和遺傳算法對滾珠絲杠副進給實驗臺的Stribeck摩擦模型進行了參數辨識.采用建立的控制方法在實驗臺上進行了軌跡跟蹤實驗.實驗結果表明:在沒有使用摩擦補償情況下自適應滑模控制器最大跟蹤誤差為31.85 μm;使用帶摩擦補償的自適應滑模控制器,其最大跟蹤誤差減小為15.55 μm.實驗結果證明了針對滾珠絲杠副進給系統軸向振動特性模型設計的自適應滑模控制器具有較高的跟蹤性能，并且采用帶摩擦補償的自適應滑模控制方法顯著提高了滾珠絲杠進給系統的跟蹤精度.

滾珠絲杠副;兩自由度模型;自適應滑模控制;摩擦補償;遺傳算法

由于滾珠絲杠副具有較高的剛度和較高的傳動效率(η=95%～98%)等優點,目前已廣泛應用于機床的進給系統中[1].高性能機床對進給系統的速度和精度要求日益增加,這就要求像滾珠絲杠副這樣的直線運動部件具有更高的動靜態精度.通常情況下,滾珠絲杠副控制模型作為被控對象被等效為剛體模型.然而,當滾珠絲杠副在較高的速度和加速度運行環境中時,進給系統會出現軸向與扭轉振動模態,而這些模態會限制伺服系統的帶寬,從而影響定位和跟蹤精度[2].并且,滾珠絲杠副在進給系統運行過程中會受到切向力和摩擦等外界干擾的影響，而摩擦是影響其動靜態性能的主要非線性因素[3-4].

為了達到更高的加工精度,需要精確地控制機床的進給運動[5].由于滾珠絲杠副進給系統具有振動模態特性,并受到摩擦等外界干擾,因此傳統的控制方法不能滿足高精度的控制要求[6].國內外很多學者針對滾珠絲杠副進給系統高精度控制方法進行了大量的研究.在振動抑制方面, Erkorkmaz 等[7]提出了針對滾珠絲杠副進給系統剛體模型的滑模控制,使用陷波濾波器濾除軸向振動,相較于僅考慮進給系統的剛體模型,該控制器能夠很好地改善高速跟蹤精度.Kamalzadeh 等[8]又提出了針對滾珠絲杠副進給系統軸向振動特性模型的自適應滑模控制器.Gordon 等[6]采用極點配置方法實現滾珠絲杠進給系統的主動振動抑制.Okwudire等[9]在Kamalzadeh 等[8]研究的基礎上建立了模態補償離散滑模變結構控制器.Dong等[10]針對滾珠絲杠副進給系統具有振動模態以及系統參數和外界干擾時變等特性，提出了一種自適應滑模控制器.在外界干擾抑制方面,Kim等[11]利用LuGre摩擦模型,結合針對剛體模型的反演控制和模糊神經網絡觀測器,設計了一種摩擦補償反演控制器.Han等[12]在Kim等[11]的基礎上設計了一種動態滑模控制器,進一步提高了進給系統的跟蹤精度.Choi[13]根據LuGre摩擦模型提出了一種可以表現系統摩擦遲滯特性的動態摩擦模型,并運用于滾珠絲杠副進給系統剛體模型的滑模控制器中,使得進給系統具有較高的跟蹤性能.

為了提高滾珠絲杠副進給系統的跟蹤性能,本文綜合考慮了系統振動模態以及外界干擾等特性,設計了帶摩擦補償的自適應滑模控制器.

1 系統模型

本文采用的實驗裝置如圖1所示.實驗臺采用了導程為20 mm、直徑為20 mm的高精度滾珠絲杠副,兩邊安裝的精密滾動直線導軌由一臺額定功率為9 kW的同步交流伺服電機提供動力,輸出端通過聯軸器與滾珠絲杠副的一端連接.實驗臺通過安裝在滾珠絲杠副一端的旋轉編碼器和工作臺一側的光柵尺來反饋信號.實驗臺采用SPACE實時控制系統.

圖1 滾珠絲杠副進給實驗臺

為了體現滾珠絲杠副進給系統的軸向振動模態特性,簡化系統為一個兩自由度的質量模型，如圖2所示,其系統方程可以表示為

(1)

式中,m1為系統滾動元件的等效慣量,包括電機、聯軸器以及滾珠絲杠等;m2為系統移動元件的等效慣量,包括絲杠螺母、直線導軌以及工作臺等;b1為電機和軸承的黏性阻尼;b2為直線導軌的黏性阻尼;k為系統整體的軸向剛度;c為預緊螺母的阻尼;u為電機轉矩電壓指令;d1,d2分別為系統受到的等效外部干擾,主要由系統受到的切向力和非線性摩擦力組成;x1，x2分別為滾珠絲杠副旋轉位移和工作臺移動位移.

圖2 兩自由度模型

將式(1)轉換為兩自由度模型的狀態空間方程,即

(2)

(3)

2 滑模控制器設計

2.1 滑模函數

n1z1+n2z2+n3z3+n4z4

(4)

式中,N為滑模函數系數;N1={n1,n2,n3},n1,n2,n3>0,并且定義N2={n4}=1.

當各狀態變量位于滑模函數σ=0位置時,式(4)可改寫為

(5)

此時

(6)

(7)

2.2 滑模控制器設計

滑模控制器是基于系統的誤差來設計的,因此定義狀態變量的跟蹤誤差為

e=z-zr

(8)

其中，誤差e和參考向量zr分別為

e={e1,e2,e3,e4}T,zr={z1r,z2r,z3r,z4r}T

(9)

式中,z1r和z2r分別為工作臺直線位移和電機旋轉位移的參考值;z3r和z4r為工作臺線速度和電機角速度的參考值.

(10)

由式(10)可以得到

(11)

式中,α=c1e2,c1>0.

此時,跟蹤誤差向量e可以改寫為

(12)

反演滑模控制器是基于Lyapunov自適應理論來設計的,因此定義Lyapunov函數為

(13)

對式(13)求導，并把式(11)代入,得

(14)

本文根據跟蹤誤差來定義滑模函數,即

σ=n1e1+n2e2+n3e3+n4e4

(15)

又根據系統狀態空間方程(2),e3和e4的導數可以寫為

(16)

因此滑模函數σ的導數為

(17)

在這里設計一個滑模函數的切換項，即

(18)

式中,sgn(·)為符號函數;h和β為正常數.

為了滿足滑模條件,設計控制律u為

(19)

式中,E為系統受到的外界干擾,主要包括切向力和摩擦等因素,而在實際情況下E通常是未知的,因此需要設計自適應控制律.

2.3 自適應律設計

定義Lyapunov函數為

(20)

(21)

因此,根據式(19)和(21)設計控制律為

(22)

其中,設計自適應律為

(23)

最后是自適應反演滑模控制器的穩定性證明,將式(22)和(23)代入式(21)，得

(24)

3 摩擦補償

滾珠絲杠副進給系統在工作過程中會受到外界干擾,其中系統摩擦可以通過建模得到,因此本文結合系統的摩擦模型采用摩擦補償的方法來補償外界干擾中摩擦的部分,從而進一步提高系統自適應滑模控制律的跟蹤精度和魯棒性.

本文在摩擦補償中采用的摩擦模型為Stribeck摩擦模型,其數學表達式為

(25)

式中,Tc為庫倫摩擦力矩;Ts為靜摩擦力矩;α為黏性摩擦系數;ωs為Stribeck速度.

在實際控制過程中,需要對上述幾個參數進行辨識,而系統在正反速度方向運行時,摩擦模型參數取不同的值,因此式(25)可以改寫為

(26)

圖3 遺傳算法過程框圖

(27)

選擇個體適應度函數為

fm=Cmax-Jmm=1,2,…,M

(28)

式中,Cmax為目標函數Jm的最大值;M為種群規模，M=200.

由于滾珠絲杠副進給系統在勻速運動過程中,電機輸出的轉矩基本用來克服系統的摩擦轉矩,因此把勻速運動過程中電機輸出轉矩等效為系統所受到的摩擦轉矩.辨識過程中進給實驗臺在閉環條件下作勻速往返運動,dSPACE控制系統采集電機輸出的轉矩值.運行的速度范圍為±0.1 ～±1 000 mm/s.最后把采集到的轉速值和對應的轉矩值輸入辨識程序中,得到參數辨識的結果如表1所示.

摩擦補償中系統摩擦轉矩不包含黏性摩擦轉矩,因此最后控制系統采用的摩擦補償信號為

(29)

式中,Ka為放大器增益;Kt為電機轉矩常數，本文中KaKt=1.072 N·A;ωref為系統輸入的角速度指令.最后得出的整個滾珠絲杠副進給系統的控制框圖如圖4所示,其中xref為軌跡參考值.

表1 Stribeck摩擦模型參數辨識結果

圖4 帶摩擦補償的控制系統框圖

4 實驗結果與分析

實驗結果記錄了實驗臺運行過程中的跟蹤誤差和控制信號,如圖6所示.由圖6(a)可見，沒有采用摩擦補償的最大跟蹤誤差為31.85 μm,跟蹤誤差的峰值發生在系統啟動、停止和換向的過程中；而由圖6(b)可見，采用摩擦補償的最大跟蹤誤差為15.55 μm.實驗結果說明,自適應滑模控制器本身具有較高的控制精度,可以補償一部分外界干擾.但在系統啟動、停止和換向過程中存在跟蹤誤差峰值,主要是由于系統摩擦造成的,因此摩擦很大程度上影響了進給運動的跟蹤精度.在采用基于Stribeck摩擦模型的摩擦補償后,系統跟蹤誤差減小,自適應滑模控制器的跟蹤精度得到提高.實驗結果也同時說明了采用遺傳算法辨識Stribeck摩擦模型參數,辨識結果比較理想.

(a) 無摩擦補償

(b) 有摩擦補償

圖6 自適應滑模控制跟蹤性能

5 結語

對滾珠絲杠副進給系統的控制方法進行了研究,綜合考慮了進給系統所具有的軸向振動特性及運行過程中存在的外部干擾問題.本文中主要的控制律為自適應滑模控制,用以抑制進給系統的軸向振動和外界干擾,獲得了較高的跟蹤性能.采用了基于Stribeck摩擦模型的前饋摩擦補償，進一步提高進給系統的跟蹤精度和魯棒性.最后通過實驗驗證,所設計的控制器可以保證進給系統運行的跟蹤性能，并且加入了摩擦補償的自適應滑模控制器跟蹤性能更好.

References)

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Adaptive sliding mode control of ball screw drives with friction compensation

Bao Dafei Tang Wencheng Dong Liang

(School of Mechanical Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China)

In order to improve the tracking performance of ball screw drives, the adaptive sliding mode control with friction compensation was adopted. A two degrees of freedom mass model was established based on the axial vibration characteristics of ball screw drives, and a backstepping sliding mode controller was designed according to the state equation of the model. Then an adaptive sliding mode controller with adaptive law was designed considering the influence of the external disturbance. The friction compensation method based on the Stribeck friction model was used, and the Stribeck friction model parameters of ball screw feed test bench were identified by the genetic algorithm. The trajectory tracking experiments were conducted on test bench with the proposed control method. The results show that the maximum tracking error is 31.85 μm by using the adaptive sliding mode controller without friction compensation, while it decreases to 15.55 μm when using the adaptive sliding mode controller with friction compensation. It is proved that the adaptive sliding mode controller designed for the axial vibration characteristics model of ball screw drives has a high tracking performance, and the tracking accuracy of ball screw drives is improved considerably by using the adaptive sliding mode control with friction compensation.

ball screw; two degrees of freedom model; adaptive sliding mode control; friction compensation; genetic algorithm

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.03.008

2015-01-22. 作者簡介: 包達飛(1989—)，男，博士生；湯文成(聯系人)，男，博士，教授，博士生導師，tangwc@seu.edu.cn.

“十二五”國家科技重大專項資助項目(2013ZX04008011).

包達飛，湯文成，董亮.帶摩擦補償的滾珠絲杠副進給系統自適應滑模控制[J].東南大學學報:自然科學版,2015,45(3):455-460.

10.3969/j.issn.1001-0505.2015.03.008

TH132.1;TP271

A

1001-0505(2015)03-0455-06