圓面積公式推導難點及其解決之道的啟示

俞正強

圓面積公式的推導不同于其他圖形面積公示的推導，關鍵之處在于把一個圓形變成了長方形，這種變是學生很難接受的。

教師通常會通過上圖的比較告訴學生：分得更多就會更像長方形，這就是無限接近的意思。但對學生而言，分得再細也還是曲線，只是由更短的曲線接起來而已。

數學專家會說，因為線是由點組成的，當分成點時，曲線就會變成直線。但問題是：由圓分割而成的始終是如下的形狀。

當變成點，這個形狀還有嗎？長方形還在嗎？

當然，對于這些想法，學生是不會講出來的。因為他們已經習慣了聽教師所說的。教師說變成長方形，就是長方形吧，何苦自尋煩惱！而這種想法正是教學的可怕之處。我們在教給學生知識的同時斷了他們思想的沖動。因此，數學教師應該想辦法紓解圓方（曲直）之間的糾結關系。

圓形變成長方形的困難究其根源是線的曲直問題。因此，在小學，有兩節課可以為這個問題的紓解做比較好的鋪墊。

鋪墊一：線無曲直

小學四年級有一節課是“線的認識”。在這一節課中，很重要的一個內容是認識“線的基本屬性為長短”。但在生活中，線除了有長短外，還有曲直、粗細之分。因此，要在這一課中讓學生體會線無曲直、無粗細，明確曲直、粗細并非線的基本屬性。

……

師：同學們，大家都說線分曲線和直線。

生：是的。

師：請大家說說你是怎樣來區分曲線和直線的？

生：只要不直的就是曲線。

師：（兩只手拿起一條線且拉直）同學們，這條線是什么線？

生：直線。

師：（兩只手往中間靠攏）同學們，這條線是什么線？

生：曲線。

師：這條線一會兒是曲線，一會兒是直線，那這條線到底是什么線？

生：……（發呆了）

師：這條線變直、變曲的原因是什么？

生：是老師在拉，是老師的原因。

師：很好，那線自己是曲的，還是直的呢？

生：不知道，它自己只是線而已。

師：線自己有曲直嗎？

生：沒有。

整個過程顛覆了學生確定線有曲直的生活經驗。因為在這一過程中，教師把生活中的線通過一個活動把它分為現象與本質。從現象上看，是有曲直的;從本質上看，卻是無曲直的。這種關于現象與本質的討論，是無法用語言給學生講明白的。只有在活動中有所感悟，有所體會，有所驚詫，有所疑惑，恰是在驚詫和疑惑中，才會更好地體會關于線的現象與

本質。

原來的關于線有曲直的根深蒂固的觀念被動搖，繼而慢慢地樹立起關于線無曲直的認識。線的曲直由“二”的狀態變成“一”的狀態。

鋪墊二：圓是幾邊形

在小學五年級“圓的認識”這一課中，圓的特征是曲線。這是與之前學過的圖形在外觀上的最大不同。因此，對圓的認識，有必要在直線與曲線上再一次聯結，使四年級“線的認識”一課中埋下的“線無曲直”的種子得到伸展。

材料：將正三邊形每邊的中間折斷，會得到六邊形，然后將每邊的中間折斷，得到十二邊形，依次不斷進行，得到下圖。

問題討論

問題1：以此不斷，一直到最后，最后會是個什么圖形？

結論：最后是一個圓。

問題2：圓是幾邊形？

觀點1：圓是無數邊形。

觀點2：圓是一邊形。

討論1：為什么會認為圓是無數邊形？

正三邊形 ?正六邊形 ?正十二邊形 ?正二十四邊形，

不斷分邊，越多越圓，因此，圓是無數邊形。

討論2：那圓是一邊形的理由呢？

沒有理由，一看就是一邊。

討論3：無數邊是由觀察推想出來的，是無數條直邊。

一邊形是觀察來的，是一條曲邊。那誰對呢？

結論：都對，無數條直邊組成一條曲邊。

這個結論非常重要，從小學四年級對曲直邊線的模糊，到五年級的曲直融合，對線的認識有了漸趨完整的認識。

如前所述，公式推導的難點在于線的化曲為直，因為已經有了兩個鋪墊，即線無曲直，曲由直來，再來理解化曲為直，是十分自然而然的。

這個例子可以說明：

（1）圓形轉化成長方形，從表象上來看，是形的問題，實質上是線的問題。線化曲為直的可理解決定形化圓為方的可理解。

（2）一節課的難點，如果之前不鋪墊或在這幾個點上略過，本質上說這節課的難點就會失去突破的機會。所謂的“突破”也只是學生無奈的記憶而已。

因此，數學課真的不是那么好上的。學生覺得數學難，可能真正難的是教師不知道今天的困難是由昨天的無知造成的。

（責任編輯：孫建輝）