一個擴展的r矩陣及其應用

徐英，王素霞

(淮南師范學院金融學院，安徽淮南232038)

一個擴展的r矩陣及其應用

徐英，王素霞

(淮南師范學院金融學院，安徽淮南232038)

發展并應用孤立子方程的譜問題非線性化方法到對稱矩陣Kaup－Newell方程上.得到了一個擴展的r矩陣，并應用r矩陣方法證明了對稱矩陣kaup－Newell方程的有限維Hamilton系統是Liouville完全可積的.

對稱矩陣Kaup－Newell方程;譜問題非線性化;r矩陣;可積Hamilton系統

1 引言

著名的r矩陣理論［1］經常被應用于研究約束孤子流，由孤子方程通過譜問題非線性化［2－12］可以得到這些約束孤子流的有限維可積Hamilton系統.所有這些約束孤子流都有Lax表示Lx=［U，V］，其守恒積分可以由trLk，k∈Z表示，又由r矩陣關系

可以得到對合關系

本文研究對稱矩陣Kaup－Newell方程的譜問題雙非線性化［5，12－15］，得到了對稱矩陣Kaup－Newell方程的一個有限維Hamilton系統，該有限維Hamilton系統具有Lax表示，讓我們驚訝的是發現這個Lax算子所滿足的形式不同于以往規范的r矩陣形式(1)，而是滿足如下擴展的r矩陣形式

其中A，B是任意的矩陣，從而應用r矩陣方法［1］可以得到上述有限維Hamilton系統是對合的，進而可以得到該有限維Hamilton系統是Liouville完全可積的.

2 對稱矩陣Kaup－Newell方程

考慮4階的Kaup－Newell譜問題

其中λ是譜參數，I2是2×2單位矩陣，u，v是2×2對稱矩陣位勢函數

選取(4)的輔助譜問題

由(4)與(5)的相容條件即零曲率方程

給出矩陣Kaup－Newell方程

3 譜問題雙非線性化與有限維Hamilton系統

首先給出一個引理［16］.

引理1設Φ=(φ1，φ2，…，φr)T，Ψ=(φ1，φ2，…，φr)T滿足譜問題及伴隨譜問題Φx=U(u，λ)Φ，Ψx=－UT(u，λ)Ψ，其中U(u，λ)是與u，ux，…和參數λ有關的r階方陣.設M=ΦΨT=(φkφl)r×r，則

選取N個互不相同的譜參數λ1，λ2，…，λN，考慮矩陣Kaup－Newell譜問題(4)和它的伴隨譜問題

其中

由引理1可得

考慮Bargmann約束

其中

選取初值

可得約束

其中〈·，·〉表示RN中的標準內積，A=diag(λ1，λ2，…，λN)，qs=(qs1，…，qsN)，

Ps=(ps1，…，psN)，s=1，2.

將(9)和(10)代入(8)，得有限維系統

設q1j，q2j，p1j，p2j(1≤j≤N)是辛空間(R4N，ω2)的正則變量，相應的辛結構為

定義Poisson括號

定理1在辛結構(12)下，約束流(11)是Hamilton系統

相應的Hamilton函數是

定理2有限維Hamilton系統(14)有如下Lax表示

其中

證明:記

其中

則

4 擴展的r矩陣與有限維Hamilton系統的可積性

引進記號:L1(λ)=L(λ)?I4，L2(μ)=I4?L(μ)，其中定義C=A?B為C4(i－1)+k，4(j－1)+l=AijBkl，且A=(Aij)，B=(Bkl).

在Poisson括號(13)下，通過直接計算可得到

定理3L(λ)滿足如下r矩陣表示

其中

其中ekl為第k行l列的元素為1，其它位置元素全為0的4×4矩陣.

這樣，由r矩陣理論［1］，可得

引理2如果矩陣L滿足LT=－J－1LJ，則有(L2k+1)T=－J－1L2k+1J，k≥0，其中

由引理2可得trL2k+1(λ)=0，k≥0.

事實上，trL2k+1=tr(L2k+1)T=tr(－J－1L2k+1J)=－trL2k+1.

下面只需考慮trL2k.

定理4對于流變量x的Hamilton函數H與守恒積分是可交換的，即{H，trL2k}=0.

證明:因為trL2k(λ)(k=1，2，…)是守恒的，則有

因此，trL2k(λ)(k=1，2)是守恒積分的母函數，而且可被表示成

其中E(k)j是守恒積分，由定理4，得{H，E(k)j}=0，并且由定理3，可得{E(k)i，E(j)l}=0，所以守恒積分的對合性得證.

下面考慮守恒積分的函數建立性.

定理5Hamilton系統(14)的守恒積分E(k)j(k=1，2，j=1，2，…，N)在R4N的稠密開子集上是函數獨立的.

證明:由于E(k)j的解析性，只需考慮R4N上的一點P0.設P0是

其中ε是很小的實數.由(16)可以給出守恒積分的低階質

其中…表示其高階項.

由方程(17)，在點P0可得

Jacobi行列式為

當ε足夠小，并且ε≠0，J在P0點附近非零，因為所有的E(k)j都是實值函數，(E(1)1，…，E(1)N，E(2)1，…，E(2)N)關于實坐標的Jacobi矩陣是滿秩的，

綜上所述，可得如下結論

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［11］徐英，梁鳳鳴.矩陣KdV約束流的r矩陣［J］.泰山學院學報，2012，34(3):35－39.

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［16］Ma W X，Fuchssteiner B，Oevel W.A matrix spectral problem for AKNS hierarchy and its binary nonlinearization［J］.Physica A，1996 (233):331－354.

An Extended r－Matrix Formula and its Applications

XU Ying，WANG Su－xia
(School of Finance，Huainan Normal University，Huainan，232038，China)

The approach of nonlinearization of spectral problem is extended and applied to the symmetric matrix Kaup－Newell equation.An extended r－matrix formula is presented.The complete integrability in the Liouville sense of the finite dimensional Hamiltonian system which results from the symmetric matrix Kaup－Newell equation is established in the framework of r－matrix.

the symmetric matrix Kaup－Newell equation;nonlinearization of spectral problem;r－matrix;integrable Hamiltonian system

O175.29

A

1672－2590(2015)06－0024－06

2015－09－25

淮南師范學院自然科學基金資助項目(2013XJ68)

徐英(1980－)，女，山東沂南人，淮南師范學院金融學院教師.