跳擴散模型下的兩種奇異期權定價

周雙嬌

(南京財經大學應用數學學院，江蘇南京210046)

跳擴散模型下的兩種奇異期權定價

周雙嬌

(南京財經大學應用數學學院，江蘇南京210046)

假定股票價格的跳過程為一類特殊的更新過程，建立隨機利率下帶多個跳源的跳擴散模型，利用等價鞅測度變換方法，推導出兩種奇異期權的定價公式.

更新過程;隨機利率;鞅方法;奇異期權

1 引言

隨著期權定價理論的不斷發展，越來越多的模型應用于各式各樣的期權定價中.1973年，Black和Scholes［1］提出了著名的期權定價模型，1976年Merton［2］引入跳擴散模型，其跳過程為Poisson過程.寧麗娟［3］(2003)將跳過程推廣為比Poisson過程更為一般的一種特殊的更新過程，推導歐式期權定價公式.顏玲等［4］(2012)討論了有多個跳源的跳擴散模型的期權定價.本文建立隨機利率下帶多個跳源的跳擴散模型，其中跳過程為一類特殊的更新過程，通過兩次測度變換，分別給出了上限型權證和抵付型權證的定價公式.

2 預備知識

定義1［3］(T1)i≥0是一列獨立同服從Γ分布Γ(α，λ)(α＞0，λ＞0)的隨機變量序列.令則計數過程N(t)=sup{n∶τn≤t}為一類特殊的更新過程.

引理1［3］若{N(t)，t≥0}是定義1的一類特殊的更新過程，記Pn(t)=P(N(t)=n)，則

當α為正整數時，

特別地，當α=1時，

引理2［5］若W1(t)，W2(t)是測度Q下的標準Brown運動，且dW1(t)dW2(t)=ρdt，其中ρ為常數，則是Q下的標準Brown運動，其中e1(s)，e1(s)(s∈［0，T］)是確定性的可積函數.

引理3［6］若X～N(μ，σ2)，則

根據引理3，易得以下推論:

推論1在引理3的條件下，有

3 模型假設

假設市場是一個無套利、無稅收、無交易成本、無摩擦、可連續交易的完全金融市場.該市場中僅有兩種資產，一種是風險資產(股票)St，另一種是無風險資產(債券)B(t，T)，在風險中性概率空間(Ω，F，P)中，其價格分別滿足一下隨機微分方程:

其中μ(t)為股票的預期收益率;r(t)為可能隨機的短期利率;σ(t)無跳時股票價格的波動率;W1(t)，W2(t)為概率空間(Ω，F，P)上的標準布朗運動，且ρ(W1(t)，W1(t))=ρ，0≤ρ≤1.Ni(t)是股票價格過程St在t時刻發生第i種跳躍的計數過程，為定義1所述的一種特殊的更新過程，強度為，且N1(t)，N2(t)，…，Nn(t)相互獨立.(Ui)i≥0(Ui＞－1)為隨機變量，是股票價格發生跳躍時股票價格的相對跳躍高度，且1n(1+Ui)服從正態分布，其中hi為Ui的無條件期望，即hi=E (Ui)，v2i為1n(1+Ui)的方差.設(Ui)i≥0，Ni(t)與W1(t)，W2(t)相互獨立.這里S(0)=S0，B(T，T)=1.

4 期權定價

4.1 上限型權證

定義2上限型權證或買權到期時的價值或現金流量為:

其中K1＜K2給定.

定理1股票價格過程S(t)和債券價格過程B(t，T)分別滿足隨機微分方程(1)、(2)，則到期日為T的上限型權證在0時刻的定價公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，且N(·)為標準正態分布的累積分布函數.

證明:設股票價格過程S(t)和債券價格過程B(t，T)分別滿足隨機微分方程(1)，(2).利用由Girsanov定理構造一個等價鞅測度:

則P*是與P等價的鞅測度，且為測度P*下的標準Brown運動，于是(1)式變為

由It^o公式得:

由引理1和文獻［5］可知:~W2(t)為測度Q下的標準Brown運動.

則(5)式簡化為:

對給定的ki(i=1，2，…，n)，有

先算I1，根據全期望公式和推論1，有:

同理，再算I2:

同理可得:

將I1，I2，I3分別代入(7)式化簡得:

將上述定理中的0時刻改為t時刻，用類似的方法可以得到以下推論:

推論2股票價格過程S(t)和債券價格過程B(t，T)分別滿足隨機微分方程(1)、(2)，則到期日為T的上限型權證在t時刻的定價公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，N(·)為標準正態分布的累積分布函數.

4.2 抵付型權證

定義3抵付型權證或賣權到期時的價值或現金流量為:

其中K為履約價格.

運用與定理1類似的方法可以得到以下定理:

定理2股票價格過程S(t)和債券價格過程B(t，T)分別滿足隨機微分方程(1)、(2)，則到期日為T的抵付型權證在0時刻的定價公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，且N(·)為標準正態分布的累積分布函數.

推論3股票價格過程S(t)和債券價格過程B(t，T)分別滿足隨機微分方程(1)、(2)，則到期日為T的抵付型權證在t時刻的定價公式為:

其中，

θ2(t)=σ2(t)+δ2(t，T)－2ρσ(t)δ(t，T)，且N(·)為標準正態分布的累積分布函數.

其中，文中所述的兩種奇異期權中，當上限型權證的K2→∞，抵付型權證的K=H時，它們則為標準歐式看漲期權.

［1］Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973(81):637－654.

［2］Merton R C.Option pricing when underlying stock return are discontinuous［J］.Journal of Economy，1976(3):125－144.

［3］寧麗娟，劉新平.股票價格服從跳－擴散過程的期權定價模型［J］.陜西師范大學學報(自然科學版)，2003(4):16－19.

［4］顏玲，王永茂，劉海濤，王怡菲，劉超，吳琳琳.有多個跳躍源的跳擴散模型的期權定價［J］.鄭州大學學報(理學版)，2012(1): 33－36.

［5］趙建國，師恪.跳－擴散模型下的復合期權定價公式［J］.新疆大學學報(自然科學版)，2006(3):257－263，276.

［6］張波，商豪.應用隨機過程［M］.北京:中國人民大學出版社，2001.

Pricing of Two Kinds of Exotic Options with Jump－Diffusion Model

ZHOU Shuang－jiao
(School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，Nanjing，210046，China)

It is assumed that the jump process in stock price is a special kind of renewal process.The jump diffusion model with multiple sources of jumps is established under the stochastic interest rates.Based on equivalent martingale transformation measure，two exotic pricing formulas are deduced.

renewal process;stochastic interest rate;martingale method;exotic option

O211.6

A

1672－2590(2015)06－0018－06

2015－10－08

周雙嬌(1990－)，女，浙江青田人，南京財經大學應用數學學院碩士研究生.