談解題后的反省

羅平

摘 要：完成一個數(shù)學問題的解答后，對解答的過程和結果進行評價和反省。反省問題的存在性、反省結果與題設的協(xié)調(diào)性、反省問題的完備性、反省結果的準確性、反省問題的可逆性。

關鍵詞：反省；過程；結果

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）04-209-01

常言道：“時時反省，讓人知明而行無過。”完成一個數(shù)學問題的解答后，對解答的過程和結果進行評價和反省，是解題的一個重要環(huán)節(jié)。它對于解題的準確性，發(fā)展學生的逆向思維能力，培養(yǎng)嚴謹治學的科學態(tài)度和思考問題的周密性等都有極其重要的意義。

一、 反省問題的存在性

在解題中常常看到：通過看似合理的運算過程，求出的某一數(shù)學問題的結果未必存在。因而在解決一個數(shù)學問題時必須通過細致反省，才能驗證問題的存在性。

例1：求

解： = =0

若對此題不進行反省，就極易忽視問題的存在性。

正確解是：當取 時，則：

= ，而取 ，則：

，所以 不存在

二、 反省結果與題設的協(xié)調(diào)性

學生往往求出結果后，就認為任務已經(jīng)完成，不再去推敲、檢驗，這常常是導致學生失分的重要因素。若教師恰當引導，讓學生進行反省，效果好得多。

例2：解方程：

解：兩邊平方得： 所以 ，則 ，

所以原方程的解集為：

以上解題似乎已求得圓滿的結果，但是如果我們仔細地檢查一下，就不難發(fā)現(xiàn) 是增根，所以原方程的解集為 ，事實上，當把方程 兩邊平方變?yōu)?，由后者解出的x除了 的解之外，還包括了 ，即 所得的解是增根。例中所增根 就是 的解。

三、 反省問題的完備性

某些數(shù)學問題往往比較復雜，得出結果后，若不經(jīng)過反省，則會導致以偏概全等錯誤。

例3：

解：

=

如果對此題計算不反省，則導致以偏概全錯誤，該題計算忽視了算術根概念：

正確解答是：

又

由于

故 不存在

四、 反省結果的準確性

解決一個數(shù)學問題后，采取一些合理科學的方法進行反省，對于減少失誤，提高解答的正確性起到積極作用。如在求不定積分時，將結果求導看是否等于被積函數(shù)，就會發(fā)現(xiàn)自己的答案是否正確，這樣學生不但減少了失分的現(xiàn)象，而且有利于培養(yǎng)學生的嚴謹治學的科學態(tài)度。

五、 反省問題的可逆性解決一個數(shù)學問題，通過一些推理過程來展現(xiàn)。對于推理過程具有充要條件關系的特征時，解題時要對解答過程進行檢查，是否每一步都可逆，這樣既可培養(yǎng)學生的逆向思維能力，也可提高解答過程的準確性。

例如： ，須要求初學者求出 的微分，看能否還原，即作逆向檢查，這樣做，使運算過程準確無誤。