分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的幾個(gè)常見運(yùn)用

涂從秋

摘 要：近年來，在各地中考試題中涉及“分類討論”的問題十分常見，因?yàn)檫@類試題不僅考查我們的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與方法，而且考查了我們思維的深刻性。在解決此類問題時(shí)，因考慮不周全導(dǎo)致失分的較多，究其原因主要是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，尤其是在中考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)“分類討論”數(shù)學(xué)思想的幾個(gè)常見運(yùn)用沒有復(fù)習(xí)到位。

關(guān)鍵詞：分類討論；初中數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）04-119-03

分類討論思想是指在解決一個(gè)問題時(shí)，無法用同一種方法去解決，而需要一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)將問題劃分成幾個(gè)能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題——加以解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論思想。分類討論思想的實(shí)質(zhì)：將整體問題化為部分問題來解決，以增加題設(shè)條件去完成。分類討論思想的原則：分類科學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，做到不重復(fù)，不遺漏，并力求最簡(jiǎn)，討論的方法是逐類進(jìn)行，還必須要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整。

一般情況下，當(dāng)數(shù)學(xué)問題中的條件，結(jié)論不明確或題意中含參數(shù)或圖形不確定時(shí)，就應(yīng)用分類討論的思想來解決問題。

近年來，在各地中考試題中涉及“分類討論”的問題十分常見，因?yàn)檫@類試題不僅考查我們的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與方法，而且考查了我們思維的深刻性。在解決此類問題時(shí)，因考慮不周全導(dǎo)致失分的較多，究其原因主要是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，尤其是在中考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)“分類討論”數(shù)學(xué)思想的幾個(gè)常見運(yùn)用沒有復(fù)習(xí)到位。下面就一些典型試題中涉及“分類討論思想”的問題，分析幾個(gè)常見運(yùn)用，以加深讀者對(duì)這幾個(gè)常見運(yùn)用的理解。

一、化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的代數(shù)式

例1已知 是數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)（如圖），化簡(jiǎn)：|a-b|-|a+b|+|a|-|b.

分析：絕對(duì)值概念是一個(gè)需要分類討論的概念，要弄清這一概念應(yīng)從絕對(duì)值的幾何意義說起，也就是一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。所以只有對(duì)初中數(shù)學(xué)概念的本身有一個(gè)全面深刻的理解，才能在解決有關(guān)問題時(shí)有分類討論的意識(shí)，從而提高分析問題和解決問題的能力。去絕對(duì)值符號(hào)的關(guān)鍵是要搞清楚絕對(duì)值符號(hào)里面結(jié)果的情況，嚴(yán)格用公式 來解決問題。

解：由圖可得a-b<0，a+b<，a<0，b<0.|a-b|=-（a-b）=b-a

|a+b|=-（a+b）=-a-b.|a|=-a，|b|=b.

|a-b|-|a+b|+|a|-|b|=（b-a）-（-a-b）+（-a）-b=b-a

例2 代數(shù)式 的所有可能的值有（ ）

A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 無數(shù)個(gè)

分析：根據(jù)絕對(duì)值的意義，需對(duì)a、b的符號(hào)進(jìn)行討論。

（1）當(dāng)a>0，b>0時(shí)，ab>0，原式等于3；（2）當(dāng)a>0，b<0時(shí)，原式等于-1；（3）當(dāng)a<0，b>0時(shí)，ab<0，原式等于-1；（4）當(dāng)a<0，b<0時(shí)，ab>0，原式等于-1。因此，代數(shù)式所有可能的值為3、-1。答案：A。

解決含參數(shù)的函數(shù)表達(dá)式有關(guān)問題

例1一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，對(duì)應(yīng)的 值為1≤y≤9，則kb的值是（ ）

A. 14 B. -6 C. -4或21 D. -6或14

分析：題目中給出了一次函數(shù)圖象的一部分（線段），當(dāng)x=-3時(shí)，y可以取1或9，因此應(yīng)對(duì)參數(shù)k分兩種情況討論，當(dāng)K>0時(shí)，線段兩端點(diǎn)為（-3，1）和（1，9），則k=2，b=7，kb=14；當(dāng)k<0時(shí)，線段兩端點(diǎn)為（-3，9）和（1，1），則K=-2，b=3，kb=-6。答案：D.

例2函數(shù)y=mx﹣a與y=a/x（a≠0，m≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）

分析：分別根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行逐一分析即可，由于a的符號(hào)不確定，所以需分類討論.

解：A、由一次函數(shù)y=mx﹣a的圖象與y軸的正半軸相交可知-a>0，即a<0，與y=a/x（x≠0）的圖象a>0相矛盾，錯(cuò)誤；B、由一次函數(shù)y=mx﹣a的圖象與y軸的正半軸相交可知﹣a>0，即a<0，與y=a/x（x≠0）的圖象a>0相矛盾，錯(cuò)誤；C、由一次函數(shù)y=mx﹣a的圖象與y軸的負(fù)半軸相交可知﹣a<0，即a>0，與y=a/x（x≠0）的圖象a<0相矛盾，錯(cuò)誤；D、由一次函數(shù)y=mx﹣a的圖象可知a<0，與y=a/x（x≠0）的圖象a<0一致，正確.

故選D.（本題考查了一次函數(shù)的圖象及反比例函數(shù)的圖象，重點(diǎn)是注意y=k1x+b中b及y=k2/x中k2的取值）

2、由于圖形的變化，圖形位置不確定或形狀不確定引起幾何問題結(jié)果有多種可能或未明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的全等或相似的可能對(duì)應(yīng)情況

例1 有一塊梯形菜地，上底、下底不能直接測(cè)量，但可測(cè)量梯形的高為12m，梯形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為15m和20m，試求這塊地的面積.

分析：?jiǎn)栴}可轉(zhuǎn)化為：在梯形ABCD中，AB∥CD，AE，BF是高，AE=BF=12，BD=15，AC=20. 首先，容易知道，AB=EF.由勾股定理可得，DF=9，EC=16.

在圖（1）中，DF+EC=DE+FC+2EF=DE+FC+EF+AB=DC+AB=25，此時(shí)，梯形面積為25×12÷2=150.

在圖（2）中，EC-DF=EF+DC=AB+DC=16-9=7，此時(shí)，梯形面積為7×12÷2=42. 答案：150 或42 .

例2如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端在CD、AD上滑動(dòng)。當(dāng)DM= 時(shí)，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似。

分析：由勾股定理可得AE=5 .

當(dāng)△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，DM可以與BE是對(duì)應(yīng)邊，也可以與AB是對(duì)應(yīng)邊，所以本題分兩種情況：

（1）當(dāng)DM與BE是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，DMEB=MNAE ，即DM=55

（2）當(dāng)DM與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，即DM2=15，DM= .

答案：DM的長(zhǎng)是.55 或

四、代數(shù)與幾何分類情況的綜合運(yùn)用

例1 （威海市）如圖，點(diǎn)A，B在直線MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半徑均為1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系式為r=1+t（t≥0）.（1）試寫出點(diǎn)A，B之間的距離d（厘米）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）問點(diǎn)A出發(fā)后多少秒兩圓相切？

分析：在兩圓相切的時(shí)候，可能是外切，也可能是內(nèi)切，所以需要對(duì)兩圓相切進(jìn)行討論.

解：（1）當(dāng)0≤t≤5.5時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為d=11-2t；

當(dāng)t>5.5時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為d=2t -11.

（2）兩圓相切可分為如下四種情況：

①當(dāng)兩圓第一次外切，由題意，可得11-2t=1+1+t，t=3；

②當(dāng)兩圓第一次內(nèi)切，由題意，可得11-2t=1+t-1，t=113；

③當(dāng)兩圓第二次內(nèi)切，由題意，可得2t-11=1+t-1，t=11；

④當(dāng)兩圓第二次外切，由題意，可得2t-11=1+t+1，t=13.

所以，點(diǎn)A出發(fā)后3秒、11/3秒、11秒、13秒兩圓相切.

例2 （上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如圖）.E是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合），M是線段DE的中點(diǎn).

（1）設(shè)BE=x，△ABM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（2）如果以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，求線段BE的長(zhǎng)；

（3）連接BD，交線段A數(shù)關(guān)系M于點(diǎn)N，如果以A、N、D為頂點(diǎn)的三角形與△BME相似，求線段BE的長(zhǎng).

分析：建立函實(shí)質(zhì)就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示。要求線段的長(zhǎng)，可假設(shè)線段的長(zhǎng)，找到等量關(guān)系，列出方程求解。題中遇到“如果以A、N、D為頂點(diǎn)的三角形與 相似”，一定要注意分類討論。

解：（1）取 中點(diǎn)H，連接MH.

∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)∵M(jìn)H‖BE，?MH=?（AD+BE）=?×（4+X）=?X+2

又∵AB⊥B∴MH⊥AB.S△ABE=?AB.MH=MH ，得y=?x+2（x>0）

由已知根據(jù)圖形位置情況得DE=（x-4）2+22 或（4-x）2+22

∵以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切

∴MH=?AB+?DE，?（X+4）=?[2+（4-x）2+22 ]解得X=?，即線段BE的長(zhǎng)為?；

（3）由已知，以A、N、D為頂點(diǎn)的三角形與△BME

相似，又易證得∠DAM=∠EBM.由此可知，另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等有兩種情況：

①∠DAN=∠BEM；； ② ∠ADN″=∠BM″E″.

①當(dāng)∠ADN=∠BME 時(shí)，∵AD‖BE ∴∠ADN=∠DBE.∴∠DBE=∠BEM，∴DB=DE，易得BE=2AD.得BE=8；

②當(dāng)∠ADN″=∠BM″E″時(shí)，∵AD‖BE，∴∠ADN=∠DBE .∴∠DBE″=∠BM″E″ ，又∠DE″B=∠BE″M″，∴△BME″∽△BM″E ″.即DE″/BE″=BE″/M″E″，即BE″2=DE″*M″E″，得.X2=?（4-x）2+22 ·（4-x）2+22 解得x1=2，x2=-10（舍）.即線段BE″的長(zhǎng)為2.綜上所述，所求線段BE的長(zhǎng)為8或2.

例3 已知一次函數(shù)y=-√3/3+3√3與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，試在x軸上找一點(diǎn)P，使△PAB為等腰三角形。

分析：本題中△PAB由于P點(diǎn)位置不確定，而且等腰三角形中哪兩條是腰也沒有確定。△PAB是等腰三角形有幾種可能？我們可以按腰的可能情況加以分類：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3√3），A點(diǎn)坐標(biāo)（9，0）。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），利用兩點(diǎn)間距離公式可對(duì)三種分類情況分別列出方程，求出P點(diǎn)坐標(biāo)有四解，分別為（-9，0）、（3，0）、（9+6√3，0）、（9-6√3，0）。答案：（-9，0）、（3，0）、（9+6√3，0）、（9-6√3，0）（解答此類問題要分析清楚符合條件的圖形的各種可能位置，緊扣條件，分類畫出各種符合條件的圖形。從而需對(duì)不同位置分別求其結(jié)果，否則會(huì)漏解。）

綜上，分類討論思想的四個(gè)常見運(yùn)用，我們可以看出：分類討論的思想在解題中一方面可將復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問題，另一方面恰當(dāng)?shù)姆诸惪杀苊鈦G值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)素養(yǎng)。我們應(yīng)該重視分類討論思想在以上四個(gè)方面的運(yùn)用。