波浪與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用

于 過 曹孫林 趙 蓉

(大連理工大學建設工程學部，遼寧 大連 116024)

波浪與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用

于 過 曹孫林 趙 蓉

(大連理工大學建設工程學部，遼寧 大連 116024)

簡述了開孔結構所具有的良好特性，并采用比例邊界有限元法進行了短峰波與非均勻透空外壁雙筒柱的相互作用分析，為非均勻透空外壁雙筒柱的水動力分析和結構設計提供了有價值的參考。

比例邊界有限元，短峰波，波浪繞射，圓柱，非均勻開孔結構

0 引言

開孔結構作為一種新型海岸及港口工程結構物，具有以下良好特性：1)從水力學特性來講，它既能降低波浪反射率，又可減少其所承受的波浪力；2)具有良好的受力特性；3)有可能降低造價，具有良好的經濟指標[1]。然而，迄今為止，有關短峰波與非均勻透空外壁雙筒柱相互作用的研究還很少。而且，一般的有限元方法也很難對波浪運動形式作出準確描述，但比例邊界有限元方法能很好的描述該問題。

1 問題的提出

Φ(x,y,z,t)=φ(x,y)Z(z)e-iωt

(1)

滿足邊界條件的解為(k為波數)：

(2)

ω2=ghtanhkh

(3)

(4)

有限域Ω1和無限域Ω2界面處的邊界條件可由式(5)表達：

(5)

其中，對于均勻開孔段的孔隙影響系數為G。當透空外壁為開口段時，開口段的孔隙影響系數為無窮大；而透空外壁為不透水壁時，G=0。

(6)

入射速度勢φI可由式(7)表達[2]：

(7)

φ求出之后，波速度、波面高度和波動壓力等可通過下列公式求得：

v=φ

(8)

(9)

p=-ρφ,t

(10)

2 推求比例邊界有限元方程

SBFEM計算示意圖見圖2。

(11)

式(12)表示式(4)與式(11)的等效泛函變分：

(12)

空間直角坐標系與比例邊界有限元坐標系之間的轉換關系可表示為：

(13)

(14)

對兩坐標系統分別求導，并用雅克比矩陣聯系起來：

(15)

其中：

(16)

在比例邊界坐標下，梯度算子可以表示為：

(17)

其中：

(18)

根據等參變換概念，速度勢函數可采用同樣的插值函數N(s)進行離散：

φ(ξ,s)=N(s)φ(ξ)

(19)

將式(17)和式(19)代入式(12)，經整理后可得：

(20)

其中：

B1(s)=b1(s)N(s),B2(s)=b2(s)N(s),s

(21)

引入下列系數矩陣E0,E1,E2,M0和Fs(ξ)[2]：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

對式(20)中含δφ(ξ),ξ的項進行分部積分，并使ζ=kbξ，從而得到如下方程[2]：

(27)

(28)

(29)

3 求解比例邊界有限元方程

3.1 求解無限域Ω2

式(27)是Bessel方程組，用Hri(ζ)Ti作為基函數表示其解：

(30)

其中，Hrj(ζ)被稱為第一類漢克爾(Hankel)函數。

T=[T1,T2，…，Tn]

(31)

C=[c1,c2，…，cn]

(32)

(33)

將式(30)代入式(27)中，考慮到Hankel函數具有導數性質，經整理可得[2]：

(34)

因為Hankel函數已經滿足無窮遠處的邊界條件，故只用對比例邊界有限元在ξ=1上的邊界條件進行考慮式(28)：

(35)

(36)

3.2 求解有限域Ω1并耦合Ω1和Ω2

同理，有限域Ω1中的φ1可用式(37)作為其解的基函數：

(37)

其中：

(38)

(39)

J(ζ)=diag[Jr1(kbξ),Jr2(kbξ),…,Jrn(kbξ)]

(40)

Y(ζ)=diag[Yr1(kbξ),Yr2(kbξ),…,Yrn(kbξ)]

(41)

考慮內邊界條件式(28)、外邊界條件式(29)分別可得Ω1中的SBFEM內外邊界條件：

(42)

(43)

其中：

(44)

(45)

(46)

(47)

考慮方程(42)，方程(43)以方程(5)，得出：

(48)

可以解出兩個域的解：

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

在式(53)中，i為虛實單位;G0為多孔介質的孔隙影響系數對角矩陣。

單位長度上力的大小可按式(55)計算[2](為方便起見，s代表x和y；r代表內外半徑a和b；并且φx=cos(θ)，φy=sin(θ))：

(55)

總力的計算值可按式(56)求得：

(56)

由式(56)可以得出，歸一化的Ps(kx,ky,k,r)在使用過程中會使問題更加簡單。

4 結語

本文首次開展了應用比例邊界有限元法對兩種典型非均勻透空外壁(開口或不透水)雙筒柱相互作用的研究，基于比例邊界坐標變換和變分原理詳細推導出一有限域和一無限域的SBFEM基本方程?？傮w來說，非均勻透空外壁中存在不透水段時，內外柱要承受更大的波浪力；平面波的作用力相對其他波來說也是最大的。本研究為工程上設計非均勻透空外壁雙筒柱提供了理論參考。

[1] Huang Zhenhua, Li Yucheng, Liu Yong. Hydraulic performance and wave loadings of perforated/slotted coastal structures:A review[J].Ocean Engineering，2011,doi:10.1016/j.oceaneng,2011(3)：3-4.

[2] Tao Longbin, Song Hao, Chakrabarti Subrata. Scaled boundary FEM model for interaction of short-crested waves with a concentric porous cylindrical structure[J]. Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering,2009,135(5):200-212.

The interaction of waves and non-uniform open outer wall double cylinders

Yu Guo Cao Sunlin Zhao Rong

(FacultyofInfrastructureEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

This paper simply introduced the good properties of open structure, and using proportion boundary finite element method made interaction analysis of short crested waves and non-uniform open outer wall double cylinders, provided valuable reference for hydrodynamic analysis and structure design of non-uniform open outer wall double cylinders.

proportion boundary finite element method, short crested waves, wave diffraction, cylindrical, non-uniform opening structure

2015-02-11

于 過(1994- )，男，在讀本科生； 曹孫林(1994- )，男，在讀本科生； 趙 蓉(1996- )，女，在讀本科生

1009-6825(2015)13-0050-03

TU318

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