液體晃蕩問題的比例邊界有限元方法研究

王 碩 張文華 于 過

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024)

液體晃蕩問題的比例邊界有限元方法研究

王 碩 張文華 于 過

(大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024)

推導(dǎo)了液體晃蕩頻域問題的比例邊界有限元方程及其求解過程，對(duì)于一些典型規(guī)則幾何形狀內(nèi)的液體晃蕩問題進(jìn)行模擬，數(shù)值算例表明該方法只需離散非常少的節(jié)點(diǎn)就能達(dá)到非常高的精度。

比例邊界有限元方法,液體晃蕩,頻率

0 引言

液體的晃蕩問題在水利、船舶、航天、石化、高層建筑減振和城市供水等領(lǐng)域均有應(yīng)用，具有廣泛的工程背景。傳統(tǒng)的有限差分法[1]、有限元法[2]、粒子法[3]及邊界元法[4]在某些領(lǐng)域發(fā)展較成熟，但各種數(shù)值計(jì)算方法對(duì)儲(chǔ)液容器晃動(dòng)問題的研究也大多集中在液體晃動(dòng)的二維問題上[5]，即使是三維問題也大多是對(duì)稱結(jié)構(gòu)(如長方體、圓柱、圓錐以及球形等)，而對(duì)復(fù)雜或不規(guī)則幾何形狀三維容器液體晃蕩問題研究非常少，這主要在于傳統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法在計(jì)算大規(guī)模液體晃蕩問題計(jì)算效率相對(duì)比較低，計(jì)算規(guī)模大，處理一些邊界條件(如交界面條件)比較困難。

比例邊界有限元方法是近年來迅速發(fā)展的一種半解析數(shù)值方法，可以被用來有效地求解線性偏微分方程，該方法結(jié)合了有限元法和邊界元法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又具有獨(dú)特的特性[6]。該方法可以減少一個(gè)空間維數(shù)，因?yàn)樗恍钄?shù)值離散計(jì)算域邊界；而在另外一個(gè)方向即徑向方向可以解析求解，由此具有較高的計(jì)算精度和效率。與邊界元方法相比，它不需要基本解，同時(shí)也沒有奇異積分問題；對(duì)于無限域問題，相對(duì)于有限元方法，它不需要截?cái)噙吔鐥l件，能自動(dòng)滿足無窮遠(yuǎn)處的輻射邊界條件。比例邊界有限元方法已成功地應(yīng)用于彈性靜、動(dòng)力學(xué)、斷裂力學(xué)、結(jié)構(gòu)—無限地基動(dòng)力相互作用、流固耦合、聲波等領(lǐng)域，在許多領(lǐng)域有著非常大的應(yīng)用前景。

鑒于SBFEM的優(yōu)越性和液體晃蕩問題的復(fù)雜性，本項(xiàng)目將利用SBFEM繼續(xù)深入研究液體晃蕩及其與結(jié)構(gòu)相互作用中有待于解決的復(fù)雜問題。

1 頻域內(nèi)三維液體晃動(dòng)的問題求解

1.1 三維液體晃動(dòng)的問題基本方程

假設(shè)容器內(nèi)的液體為不可壓縮、無粘、非定常無旋，則頻域內(nèi)描述三維容器內(nèi)液體晃蕩問題的控制方程為拉普拉斯方程。

(1)

其中,φ為容器內(nèi)液體速度勢(shì)。

對(duì)應(yīng)的邊界條件有以下兩類：

1)自由水面邊界條件(本文假設(shè)為線性邊界條件):

(2)

2)容器邊界條件:

(3)

其中，n為容器邊壁的法向方向；vb為容器邊壁上的法向速度。

1.2 三維實(shí)體容器內(nèi)液體晃動(dòng)的比例邊界有限元方程

對(duì)于以上三維液體晃蕩問題的控制方程和邊界條件問題的比例邊界有限元方程推導(dǎo)，必須先建立笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)和SBFEM系統(tǒng)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(4)

其中：

x(η,ζ)=N(η,ζ)x
y(η,ζ)=N(η,ζ)y
z(η,ζ)=N(η,ζ)z

(5)

比例坐標(biāo)與笛卡爾坐標(biāo)的變換關(guān)系：

(6)

在比例坐標(biāo)系統(tǒng)下Laplace算子表示為：

(7)

其中：

對(duì)于三維的控制方程和邊界條件，應(yīng)用加權(quán)余量法可以表示如下：

(8)

φ(ξ,η,ζ)及w(ξ,η,ζ)分別表示為：

φ(ξ,η,ζ)=N(η,ζ)φ(ξ)

(9)

w(ξ,η,ζ)=N(η,ζ)w(ξ)=(w(ξ))T(N(η,ζ))T

(10)

其中，向量φ(ξ)和w(ξ)均代表節(jié)點(diǎn)值。將方程(7),(9)和(10)代入方程(5)，通過分部積分最終整理可得(考慮任意δφ(ξ))。

(11)

(12)

(13)

(14)

方程(14)代表SBFEM基本方程，方程(11)和(12)代表內(nèi)外邊界條件，方程(13)代表在自由表面邊界條件。

1.3 三位液體晃動(dòng)的比例邊界有限元方程求解

定義狀態(tài)變量：

(15)

為了進(jìn)行方程(14)的求解，引入的對(duì)偶變量：

(16)

則基本方程(14)可轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程：

ξX(ξ),ξ==-[Z]X(ξ)

(17)

哈密頓矩陣:

(18)

方程(17)可以通過特征值求解:

(19)

其中，λ和矩陣ψ11，ψ12，ψ21和ψ22為特征值和特征向量。對(duì)有限域系數(shù)c2=0，系數(shù)c1通過邊界條件求解。考慮自由表面邊界條件(13)，方程(19)進(jìn)一步可簡(jiǎn)化為:

(20)

2 數(shù)值算例

2.1 圓柱容器液晃蕩問題

為了說明SPFEM方法的準(zhǔn)確性和有效性，對(duì)圖3所示的圓柱內(nèi)的液體晃蕩問題進(jìn)行了模擬,容器內(nèi)水深為H，容器長為R/H=0.5。容器在X方向上做頻率為ω，振幅為A的簡(jiǎn)諧晃蕩。比例中心設(shè)置在計(jì)算區(qū)域的中心，依然采用八節(jié)點(diǎn)單元。容器的速度運(yùn)動(dòng)方程為：

u=ωAcos(ωt)

(21)

圖4為在無量綱頻率下ω/(g/H)1/2=1和ω/(g/H)1/2=2的沿X軸和容器邊壁上一周的無量綱化液面升高S/A的計(jì)算結(jié)果與解析解對(duì)比。其中，比例邊界有限元網(wǎng)格劃分成三種情況：160，224和640單元。

從圖4可以看出，兩者吻合較好，證明了本方法在求解復(fù)雜圓弧曲面問題時(shí)的精確性。

2.2 圓環(huán)柱結(jié)構(gòu)容器液晃蕩問題

該結(jié)構(gòu)的示意圖如圖5所示，外圓的半徑和2.1節(jié)圓柱容器液晃蕩問題的圓柱結(jié)構(gòu)一樣。下面重點(diǎn)考察了內(nèi)圓半徑變化對(duì)液面升高的影響(內(nèi)外半徑比分別選取為r/R=0.2，0.3,0.4,同時(shí)考慮了與圓柱問題的對(duì)比)。整個(gè)結(jié)構(gòu)分成4個(gè)比例邊界有限元子結(jié)構(gòu)，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為2 596個(gè)。

圖6為無量綱頻率下ω/(g/H)1/2=1，ω/(g/H)1/2=2和ω/(g/H)1/2=3的分別沿容器外邊壁上一周的無量綱化液面升高的計(jì)算結(jié)果。

2.3 上圓柱下傾斜柱容器液晃蕩問題

該結(jié)構(gòu)的示意圖如圖7所示,底圓的半徑為R/2，其他計(jì)算參數(shù)和2.1一致，同時(shí)網(wǎng)格的劃分與2.1也一致(采用640單元)。

圖8和圖9為無量綱頻率下ω/(g/H)1/2=1和ω/(g/H)1/2=2的沿X軸和容器邊壁上一周的無量綱化液面升高S/A的計(jì)算結(jié)果，與2.1中圓柱情況結(jié)果的比較，從圖中可以看出，對(duì)于低頻情況，液面升高和圓柱情況基本上沒有差別；而增大頻率時(shí)，液面升高的最大值較圓柱情況小。

3 結(jié)語

開展了應(yīng)用比例邊界有限元法分析了容器液體晃蕩頻域問題。分別基于加權(quán)余量和變分原理，詳細(xì)推導(dǎo)了比例坐標(biāo)系統(tǒng)下三維容器液體晃蕩問題的比例邊界有限元方程求解過程。通過和其他數(shù)值方法或解析解對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該方法在使用非常少的單元就能取得非常高的計(jì)算效率和計(jì)算精度。詳細(xì)討論了不同種類型(圓柱、圓環(huán)柱、上圓柱下傾斜柱容器)的容器在不同頻率激勵(lì)下的液體晃蕩問題的液面高度變化情況。

[1]LeeS.H.,LeeY.G.,Jeong,K.L..Numericalsimulationofthree-dimensionalsloshingphenomenausingafinitedifferencemethodwithmarker-densityscheme[J].OceanEngineering,2011(38):206-225.

[2]WuG.X.,MaQ.W.,EatockT.R..Numericalsimulationofsloshingwavesina3Dtankbasedonafiniteelementmethod[J].AppliedOceanResearch,1998，20(6):337-355.

[3]Wu,N.J.,ChangK.A..Simulationoffree-surfacewavesinliquidsloshingusingadomain-typemeshlessmethod[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinFluids,2011(67):269-288.

[4]GedikliA.,ErgüvenM.E..Evaluationofsloshingproblembyvariationalboundaryelementmethod[J].EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2003，27(4):935-943.

[5]TengB.,ZhaoM.,HeG.H..Scaledboundaryfiniteelementanalysisofthewatersloshingin2Dcontainers[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinFluids,2006(52):659-678.

[6]WolfJP,SongCM.Dynamic-stiffnessmatrixofunboundedsoilbyfinite-elementmulti-cellcloning[J].EarthquakeEngineeringandStructuralDynamics,1994(23):233-250.

Scaled boundary FEM solution of liquid sloshing problems

Wang Shuo Zhang Wenhua Yu Guo

(FacultyofInfrastructureEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

The paper induces the scaled boundary finite element equation of the liquid sloshing frequency domain and its solution process, simulates the liquid sloshing of some typical regular geometrical shapes, and proves by the numeric calculation case that some nodes with little discretization can achieve high accuracy.

finite element method of scaled boundary, liquid sloshing, frequency

2015-02-26

王 碩(1993- )，男，在讀本科生； 張文華(1993- )，男，在讀本科生； 于 過(1994- )，男，在讀本科生

1009-6825(2015)13-0043-03

O241.82

A