兩大部類持續擴大再生產的優化

陶為群

(中國人民銀行南京分行，南京 210004)

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兩大部類持續擴大再生產的優化

陶為群

(中國人民銀行南京分行，南京 210004)

基于經典的馬克思兩大部類社會再生產公式,建立了離散確定型的持續擴大再生產的優化問題的動態規劃模型.在生產資料部類的不變資本產出率高于另一部類的條件下，動態規劃的指標函數是作為決策變量的生產資料部類積累率的單調函數，因而可以使用逆序解法或者順序解法, 獲得唯一的最優策略和最優指標函數.借助《資本論》中的一個舉例，計算驗證了最優解.

政治經濟學，持續擴大再生產；優化；動態規劃；逆序解法

1 引 言

馬克思的兩大部類社會擴大再生產理論與模型對于研究國民經濟增長具有重要指導意義，兩大部類持續擴大再生產的優化問題可以為國民經濟持續增長的優化提供理論指導.這一優化問題本質上是一個兩大部類擴大再生產的靜態最優化問題序列，因此，它的解也是這一序列的靜態最優化問題的序列解.兩大部類持續擴大再生產優化問題的根本意義，是通過尋求序列化的最優策略(控制)而獲得擴大再生產的動態最優增長路徑.李海明、祝志勇(2012)把馬克思擴大再生產理論與一般動態均衡分析方法結合,建立了馬克思社會擴大再生產動態均衡模型，并運用最優控制方法推導模型的最優解[1].不過，他們的研究存在兩個方面的不足，因而很大地削弱了獲得的結果.第一, 假定了 “兩大部類可變資本之比不變”.鑒于陶為群、陶川(2012)已經論證了在“兩大部類可變資本之比不變” 條件下，擴大再生產的決策變量取值是被兩大部類可變資本之比所唯一確定的[2]，因而這個假定實際上就把擴大再生產的動態最優化問題簡化成為確定狀態變量的最佳初始值，改變了動態最優化問題的根本意義.第二，把兩大部類擴大再生產動態模型設計成一個連續確定型模型，因而改變了經典的馬克思再生產公式是離散確定型模型的基本設定.陶為群、陶川(2013) 使用“價值系數法” 簡便地獲得了經典的馬克思兩大部類擴大再生產的靜態優化問題的最優解[3]，并且陶為群(2015)證明了兩大部類擴大再生產持續進行的充分必要條件[4].事實上，兩大部類持續擴大再生產的優化問題，是一個以擴大再生產持續進行作為前提的兩大部類擴大再生產的靜態最優化問題序列．他們這兩方面的研究結果，為求解兩大部類持續擴大再生產的優化問題做了鋪墊.在生產資料部類的不變資本產出率高的條件下，兩大部類持續擴大再生產的優化問題可以構成一個離散確定型的動態規劃，并且使用逆序解法求解(編篡委員會,2001)[5].

2 兩大部類擴大再生產的當年資本積累均衡和結構狀態變化

j=Ι,ΙΙ．

(1)

根據式(1)和每個部類內部，總產值的各構成部分之間保持固定不變關系，可以獲得社會再生產的當年資本積累均衡方程：

(2)

(3)

用兩大部類新創造價值之間的比例

(4)

表示兩大部類總產品之間的結構狀態，φ(t)是社會再生產系統中的狀態變量.φ(t)與資本有機構成、剩余價值率參數hj,ej共同體現了兩大部類再生產系統的完整結構.由于總產值增量的各構成增量之間也保持同樣的固定不變關系，將式(3)和φ(t)的表達式代入資本積累均衡方程式(2)，得到：

(5)

(6)

式(6)就是擴大再生產的解.陶為群(2015)證明了[4]，對于任何t年，在第Ⅰ部類資本利潤率不高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)≤eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形下，社會擴大再生產持續進行的充分必要條件是

(7)

(8)

φ**≤φ(t)<φmax，式中

(9)

(10)

(11)

2個部類的新增產出總和是

(12)

能夠最一般地表示社會擴大再生產的結果.因而第t+1年相對于第t年全社會的產出增長率是

(13)

將式(11)和φ(t)的表達式(4)代入式(13)，得到：

(14)

(15)

資本積累使下一年社會再生產的產出增加，而2個部類的新增產出會使2大部類結構狀態發生變化.下一年的兩大部類結構狀態與當年的狀態和下一年的兩個部類產出增長率有關.

(16)

當第t年實現了擴大再生產,可將式(11)代入式(16)，得到：

(17)

(18)

持續擴大再生產是一序列靜態意義下的社會擴大再生產的前后銜接.由于資本積累會使兩大部類結構狀態發生變化或者不發生變化，因而狀態轉移方程可以作為紐帶，通過第Ⅰ部類的資本積累把前后2個相鄰年份的社會擴大再生產的銜接起來.

3 兩大部類持續擴大再生產的動態規劃及逆序解法

全社會的產出增長能夠代表經濟發展.以y(t)表示第t+1年相對于第t年的經濟發展速度.則

(19)

將式(15)代入式(19)，得到經濟發展速度與決策變量之間的關系式：

(20)

第t+1年的產出與當年的經濟發展速度和第t年的產出具有確定的關系：

Y(t+1)=Y(t)y(t)

(21)

考察持續n+1年的擴大再生產，對于k=1，2，…,n，根據式(21)，第k+1年的全社會產出是被第1年的產出和此后各年的全社會經濟發展速度所確定.

(22)

根據式(20)，決策變量影響著發展速度，因而經濟發展速度可以作為指標函數.

當考察持續n+1年的社會擴大再生產,根據式(22)需要確定n個年份對于前一年的發展速度, 因而階段變量是n.擴大再生產的狀態變量從第k年的φ(k)到第k+1年的φ(k+1)之間，對應的階段指標是第k+1年相對于第k年的經濟發展速度y(k)(k=1，2，…,n).當從第k年的兩大部類的結構狀態φ(k)出發，采用后部k段子策略，則后部指標函數是：

(23)

由于指標函數是階段指標的乘積，因而可以分離，根據式(23)，有：

k=1，2，…,n-1．

(24)

在一定條件下，式(18)、(20)和(24)可以構成一個持續n+1年的社會擴大再生產的動態規劃，并且可以使用逆序解法求解.

根據式(23)可以確定，在從第k年的狀態φ(k)到第n+1年的終止狀態的后部子過程，最優指標函數是

(25)

使用逆序解法，根據式(24)和(25)可以列出持續n+1年的社會擴大再生產的逆序動態規劃方程：

k=n，n-1，…,2,1

(26)

式(26)當中的第二式為邊界條件.式(20)和(26)構成動態規劃的逆序解法的基本方程.

(27)

).根據式(8)和式(10)，可以明確地寫出qΙ(φ(t)).在第Ⅰ部類資本利潤率不高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)≤eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形下，

t=1，2，…,n．

(28)

在第Ⅰ部類利潤率高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)>eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形下，

t=1，2，…,n．

(29)

于是在第n年的最優決策是：

(30)

×Max(y(n-1))．

(31)

4 兩大部類擴大再生產的動態規劃最優策略和整體最優函數

根據后部子過程的最優指標函數式(25)和逆序動態規劃方程式(26)，原過程的整體最優函數是：

(32)

由于初始年狀態變量φ(1)是既定的,因而根據以上解析結果以及式(28)或者式(29)，可以確定：

(33)

進而根據狀態轉移方程式(18)和式(28)或者式(29)，可以順序逐年迭代確定：

t=1，2，…,n-1 ．

(34)

將式(33)和(34)代入整體最優函數f1(φ(1))，f1(φ(1))就得以最終確定.

(35)

根據式(33)和(34)，也最終確定從第1年到第n+1年原過程的最優策略.

(36)

式(36)清晰地表明：持續n+1年擴大再生產的動態優化問題的最優解，是一序列的靜態最優化問題的序列解.擴大再生產的初始狀態φ(1)和原過程的最優策略共同確定了持續擴大再生產的最優增長路徑.

從以上解析的過程看到，持續n+1年的社會擴大再生產優化的動態規劃也可以使用順序解法求解.

綜合以上解析的結果，在第Ⅰ部類的不變資本產出率高于第Ⅱ部類的條件下，只要初始年狀態變量φ(1)滿足擴大再生產的充分必要條件式(7)或者式(9)，那么式(20)、(25)、(26)可以構成一個持續擴大再生產優化的動態規劃，并且可以使用逆序解法或者順序解法求解.全部過程的最優策略由式(33)、(34)和(36)表示；整體最優函數的取值由式(33)、(34)和(35)共同表示.最優策略和整體最優函數的取值都是被兩個部類的資本有機構成、剩余價值率參數和初始年結構狀態φ(1)唯一確定.

考慮連續n+1年的擴大再生產優化，應當以在n+1年里相對于初始產出Y(1)的各年新增產出總和最大作為目標函數；也就是以n+1年里的各年產出總和最大作為目標函數.根據式(22)，n+1年里各年產出總和是

(37)

在第Ⅰ部類的不變資本產出率高于第Ⅱ部類的條件下，只要初始年狀態變量φ(1)滿足擴大再生產的充分必要條件式(7)或者式(9)，則第k+1年的最大產出是

k=1，2，…,n．

(38)

各年產出的總和最大值是

(39)

5 數值計算兩大部類持續擴大再生產的最優解

下面借助馬克思《資本論》第二卷第二十一章中的第二例[6]，對以上獲得的持續擴大再生產的動態規劃的最優解，進行數值計算驗證.此例設定兩個部類結構參數hⅠ=5，hⅡ=5.017 5,eⅠ=eⅡ=1，滿足第Ⅰ部類的不變資本產出率高于第Ⅱ部類的條件.馬克思用此例做了連續三年的計算,說明一般情形下兩個部類的擴大再生產過程.該例是本文所論析的第Ⅰ部類的資本利潤率高于第Ⅱ部類即eΙ/(1+hΙ)>eΙΙ/(1+hΙΙ)的情形.直接引用該例中的第1年(起始年)數據,列在表1中的第1年的前3列.根據式(9)，計算出φ**=0.199 8，φmax=0.398 6；于是兩大部類社會再生產的結構狀態變量取值區間是半開區間[0.199 8, 0.398 6 ).第1年兩大部類社會再生產的結構狀態變量φ(1)=0.285, 處于上述半開區間內，滿足兩大部類擴大再生產持續進行的充分必要條件式(9).

表1 舉例驗算兩大部類持續擴大再生產的最優解

6 結 論

綜合以上研究結果表明，基于經典的馬克思兩大部類社會再生產公式,可以建立離散確定型的持續擴大再生產的優化問題的動態規劃模型，并且在生產資料部類的不變資本產出率高的條件下，使用逆序解法或者順序解法獲得唯一的最優解.最優解是被兩個部類的資本有機構成、剩余價值率參數和初始年結構狀態所確定.

[1] 李海明,祝志勇.擴大再生產的動態最優模型[J]，經濟科學，2012(6):12-22.

[2] 陶為群、陶川.馬克思經濟增長模型中的特征值及其理論蘊涵[J].經濟評論,2011(3):5-11.

[3] 陶為群,陶川.兩大部類擴大再生產中的廣義拉格朗日乘子[J].經濟數學,2013，30(4)：49-54.

[4] 陶為群. 兩大部類擴大再生產的按比例發展定理 [J].經濟數學,2015,32(2):60-65.

[5] 編篡委員會.現代數學手冊經濟數學卷[M].武漢:華中科技大學出版社，2001：351-363.

[6] 馬克思.資本論(第二卷) [M].北京：人民出版社，2004:579-585.

The Optimization of the Two-sector Continuous Expanded Reproduction

TAO Wei-qun
(Nanjing Branch, The People’s Bank of China, Nanjing, Jiangsu 210004, China)

Based on classical Marx's two-sector reproduction scheme, this paper established a dynamic programming model of the optimization problem of the continuous expanded reproduction. The model is a dispersed and determined type. Depending on the condition that the constant capital output ratio of the capital goods sector is higher than that of another sector , the target function in the dynamic programming is a monotone function of the accumulation rate of the capital goods sector , which is treated as a decision variable. Therefore, only the optimum strategy and optimum target function can be obtained by the inverted sequence solution. An example from Marx's "Das kapital" was drawn upon to verify the optimum solution.

political economy; continuous expanded reproduction; optimization; dynamic programming; inverted sequence solution

2015-06-07

陶為群(1955—)，男，江蘇南京人，研究員，碩士 E-mail:taoweiqun@aliyun.com

F224，F014.3

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