基于新型雙足模型的步行荷載分析及其參數(shù)研究

王益鶴，楊 娜

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

隨著設(shè)計(jì)理念的迅猛發(fā)展以及輕質(zhì)、高強(qiáng)材料的廣泛使用，現(xiàn)代建筑結(jié)構(gòu)跨度不斷增大，剛度不斷降低。人行荷載作用下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視。一方面，結(jié)構(gòu)在人的行走、運(yùn)動(dòng)和使用過(guò)程中產(chǎn)生的過(guò)量振動(dòng)，使其舒適度及安全性受到影響;另一方面，更為重要的是，分布在結(jié)構(gòu)上的人群作為獨(dú)立的動(dòng)力體系，既會(huì)在結(jié)構(gòu)振動(dòng)下改變其動(dòng)荷載的大小，引發(fā)振動(dòng)的二次效應(yīng)，又會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性產(chǎn)生影響，即人與結(jié)構(gòu)間的相互作用。早在1831年，60名士兵行軍過(guò)橋?qū)е掠?guó)布勞頓橋倒塌的事故［1－2］，就使人們認(rèn)識(shí)到人致振動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。2000年，英國(guó)倫敦千禧橋在開(kāi)通當(dāng)日即產(chǎn)生嚴(yán)重振動(dòng)的事件［3］，受到國(guó)際上異乎尋常的關(guān)注及系統(tǒng)的研究。

近年來(lái)，對(duì)于人致振動(dòng)的研究取得了豐碩的進(jìn)展，但仍有許多方面需要完善。傳統(tǒng)的將人作為外部動(dòng)荷載的處理方式，忽略了人是復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)這一重要因素，未能考慮人與結(jié)構(gòu)間的相互作用，無(wú)法預(yù)測(cè)具有輕質(zhì)、低頻等特點(diǎn)的柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。一系列生物力學(xué)領(lǐng)域的人體模型開(kāi)始應(yīng)用于土木工程中，這些模型將振動(dòng)環(huán)境下的人體簡(jiǎn)化為不同自由度的剛度、質(zhì)量和阻尼體系(SMD)。最簡(jiǎn)單的人體模型是單自由度(SDOF)有阻尼體系，如圖 1。一些學(xué)者［4－5］用 SDOF模型模擬人與結(jié)構(gòu)相互作用。Mansfield等［6］和 Matsu-moto等［7］通過(guò)實(shí)驗(yàn)曲線擬合人體位于振動(dòng)臺(tái)上的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)頻率響應(yīng)函數(shù)來(lái)獲得人體模型，研究結(jié)果表明，SDOF模型無(wú)法描述人體振動(dòng)響應(yīng)幅頻特性曲線中出現(xiàn)的兩個(gè)峰值，擬合結(jié)果較差，而雙自由度(2-DOF)人體模型則精確描述了人體動(dòng)力特性。Matsumoto［7］認(rèn)為，沒(méi)有必要用多于2-DOF的模型獲得人體動(dòng)力特性。Sachse等［8］也認(rèn)為，更復(fù)雜的模型用于研究人體局部部位運(yùn)動(dòng)及振動(dòng)在人體自身的傳遞過(guò)程，不適用于研究人與結(jié)構(gòu)相互作用。Kim 等［9］也采用 ISO 5982［10］的2-DOF人體模型(見(jiàn)圖2)分析人行橋的豎向振動(dòng)問(wèn)題。然而，SMD模型忽略了人體運(yùn)動(dòng)的生物特性，無(wú)法捕捉到人體步態(tài)及人體運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響，也無(wú)法反映結(jié)構(gòu)振動(dòng)促使人體調(diào)整步態(tài)，進(jìn)而直接改變動(dòng)荷載大小的狀況。而針對(duì)人體雙足行走這一特點(diǎn)，Geyer等［11］提出用雙足步行模型(見(jiàn)圖3)模擬人體的周期步行，模擬了步行時(shí)的雙足同時(shí)落地現(xiàn)象。后來(lái)一些研究人員［12－14］又對(duì)雙足模型進(jìn)行了不同的修正，但均將人身體簡(jiǎn)化為質(zhì)心，未考慮2-DOF人體模型所精確描述的人體動(dòng)力特性。

圖1 單自由度人體模型Fig.1 SDOF model

圖2 雙自由度人體模型(ISO 5982)Fig.2 2-DOF model(ISO 5982)

本文綜合考慮2-DOF的SMD模型所表示的人體動(dòng)力特性及雙足模型雙足步行的特點(diǎn)，基于ISO 5982模型與雙足模型，建立了新型雙足步行模型。利用Lagrange方程確立新型雙足步行模型的運(yùn)動(dòng)方程并進(jìn)行Matlab編程，對(duì)步行過(guò)程中的力學(xué)特性進(jìn)行描述，并對(duì)人體能量及參數(shù)變化進(jìn)行了研究。

圖3 雙足模型Fig.3 Bipedal model

1 新型雙足模型運(yùn)動(dòng)方程的建立

新型雙足模型如圖4所示。采用ISO 5982的SMD模型表示行人的身體部位，并將其支撐于兩個(gè)無(wú)質(zhì)量的等長(zhǎng)彈簧和阻尼構(gòu)成的體系。人體質(zhì)量等效為質(zhì)量m1和m2，身體剛度為k1，阻尼為c1，長(zhǎng)度為lb;人腿部彈簧剛度為k1eg，阻尼為cleg，長(zhǎng)度為l0。

圖4 新型雙足模型步行原理圖Fig.4 Schematic of the new bipedal model

該模型中，兩個(gè)由彈簧和阻尼構(gòu)成的體系獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與地面接觸時(shí)產(chǎn)生彈性力和阻尼力，這兩個(gè)力與重力和慣性力一起構(gòu)成平衡力系，影響人體運(yùn)動(dòng)。彈簧在擺動(dòng)過(guò)程中不與地面接觸時(shí)，則相應(yīng)地彈性力和阻尼力為零，此時(shí)彈簧沒(méi)有物理意義，直到再次與地面接觸。

利用Lagrange方程建立運(yùn)動(dòng)方程。在雙足支撐階段，人體的動(dòng)能和勢(shì)能分別表示為:

其中:z1和z2分別表示人體m1和m2的垂直位移，u表示人體m1和m2的水平位移，g表示重力加速度，Ll和Lt分別表示支撐腿和隨動(dòng)腿的彈簧長(zhǎng)度。

人體的阻尼力所做虛功的變分δW表示為:

式中:cl和ct分別為支撐腿和隨動(dòng)腿的阻尼，vl和vt為支撐腿和隨動(dòng)腿的軸向速度;δ(ΔLl)和δ(ΔLt)是支撐腿和隨動(dòng)腿彈簧長(zhǎng)度的虛變形;{F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3}為對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo){z1，z2，u}的廣義力。

根據(jù)人體廣義坐標(biāo)和落腳點(diǎn)的位置，支撐腿和隨動(dòng)腿的彈簧長(zhǎng)度分別表示為:

其中:di表示步行過(guò)程中第i步步長(zhǎng)。

支撐腿和隨動(dòng)腿的軸向速度，可由m2的豎向速度和水平速度合成得出，

式中:θl，θt分別為支撐腿、隨動(dòng)腿與地面的夾角。

支撐腿和隨動(dòng)腿的位移變分，也可根據(jù)m2的豎向位移z2和水平位移u合成得出，

將式(4)和(5)代入式(1)和(2)，得:

將式(6)、(7)、(8)和(9)代入到式(3)中，得:

對(duì)比式(3)和(12)，得廣義力:

新型雙足模型運(yùn)動(dòng)的Lagrange方程可以表示為:

把動(dòng)能、勢(shì)能和廣義力的表達(dá)式分別代入到Lagrange方程，并用矩陣的形式寫(xiě)出，便得到整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程:

式中:M、C、K分別表示系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;U，，分別表示系統(tǒng)的位移、速度和加速度向量;F為荷載向量。具體表達(dá)式如下:

其中:

雙足支撐階段時(shí)，需同時(shí)考慮運(yùn)動(dòng)方程中涉及到支撐腿和隨動(dòng)腿的量;單足支撐階段時(shí)，將運(yùn)動(dòng)方程中所有與隨動(dòng)腿相關(guān)的量取值為零，即可。實(shí)際上，單足支撐階段可以視為雙足支撐階段的特殊情況。

考慮阻尼彈簧腿的雙足模型能夠模擬包括雙足和單足支撐的一個(gè)完整步態(tài)。然而，受阻尼耗能的影響，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程將無(wú)法保持平衡，在實(shí)際模擬時(shí)，模型將在若干步態(tài)之后失去穩(wěn)定［11，13，15］。為了得到穩(wěn)定的步行，本文采用外力做功的方式保持步行過(guò)程中的總能量恒定及運(yùn)動(dòng)方程平衡。

對(duì)于任意時(shí)刻t，總能量由動(dòng)能、彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能構(gòu)成，可以表示為:

假定外力在水平方向上所做的功等于能量的損失，則水平控制力可以表示為如下形式:

式中:Fctrl(t)為水平控制力，E0為初始輸入的能量，E(t)為時(shí)刻t的人體能量，Δu(t)為時(shí)刻t質(zhì)心的水平位移增量。

式(19)中，荷載向量變?yōu)?

上述分析過(guò)程，可充分描述完整的步行。注意到整個(gè)系統(tǒng)的阻尼矩陣和剛度矩陣是時(shí)變的，因此，線性體系的動(dòng)力分析方法不適用于本文分析，需用迭代的方法解決。本文選取New-Raphson非線性方法進(jìn)行迭代求解。

2 新型雙足模型數(shù)值模擬

對(duì)于雙足模型，一定速度下的腿剛度kleg和沖擊角θ0，是影響人體運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù)。Geyer等［11］首先給出雙足模型的kleg和沖擊角θ0的參數(shù)區(qū)域圖。Whittington等［12］列出了腿剛度 kleg＜50 kN·m－1，沖擊角 θ0在50 °～80°內(nèi)的參數(shù)區(qū)域圖。Kim等［13］將腿剛度kleg取值為14～28 kN·m－1，并認(rèn)為阻尼比 ξ在3% ～8%范圍內(nèi)即可描述人體步行。

考慮人體動(dòng)力特性后，本文選取以下人體特性:其中身體部位參考人體質(zhì)量ISO 5982模型［10］，mh=75 kg(其中 m1=62 kg，m2=13 kg)，身體剛度 k1=62 kN·m－1，身體阻尼 c1=14.6 kN·s·m－1，身體長(zhǎng)度取lb=0.4 m;腿部參數(shù)根據(jù)已有雙足模型［13－14］，取腿剛度kleg=20 kN·m－1，阻尼比 ξ=8%，腿長(zhǎng)取為l0=1 m。步行初始速度為1.1 m·s－1，在步行過(guò)程中假定沖擊角θ0=69°為常數(shù)。本文對(duì)上述推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行Matlab編程，詳細(xì)分析整個(gè)步行過(guò)程。

鑒于ISO 5982模型由人體振動(dòng)響應(yīng)幅頻特性得出，將新型雙足模型的人體表觀質(zhì)量幅頻特性曲線與ISO 5982模型進(jìn)行對(duì)比。如圖5所示，兩曲線接近。即新型雙足模型在描述人體步行的同時(shí)，兼顧了人體動(dòng)力特性。

根據(jù)選取參數(shù)，可模擬得到行人單步行走時(shí)的步行荷載，如圖6和圖7所示的豎向及縱向地面反力時(shí)程。由于人體步行時(shí)，每一步身體的重心都會(huì)高低起伏一次。雙足模型能夠捕捉到重心變化產(chǎn)生的加速度，使豎向地面反力和縱向地面反力均出現(xiàn)兩個(gè)峰值。其中豎向地面反力有兩個(gè)波峰和一個(gè)波谷，其中波峰對(duì)應(yīng)雙足模型中腳落地和離開(kāi)地面兩個(gè)時(shí)刻，波谷對(duì)應(yīng)雙足模型單足垂直支撐人體的時(shí)刻。豎向地面反力是非對(duì)稱的，第一個(gè)峰值明顯比第二個(gè)峰值要大?？v向地面反力也表現(xiàn)出兩個(gè)峰值，但從負(fù)值到正值變化。模擬得到的結(jié)果與Bachmann等［16］實(shí)測(cè)的結(jié)果一致，可知雙足模型可較好的模擬人體的步行特性。

與其它動(dòng)荷載不同，人步行過(guò)程中兩腿交替行進(jìn)，帶動(dòng)整個(gè)身體前進(jìn)運(yùn)動(dòng)。圖8和圖9為雙足模型模擬得到的人體持續(xù)步行中，左右兩腿產(chǎn)生的豎向及縱向連續(xù)地面反力。由于人正常雙足行走時(shí)，腳跟先著地，之后腳尖離地，每一步都有一個(gè)短暫的雙腳同時(shí)接觸地面的過(guò)程，即雙腳重疊時(shí)間，即圖8和圖9所示的左右腳地面反力的重疊時(shí)刻部分。

圖5 人體表觀質(zhì)量幅頻特性Fig.5 Normalised apparent masses response functions

圖6 單步豎向地面反力Fig.6 Vertical ground reaction force with one foot

圖7 單步縱向地面反力Fig.7 Longitudinal ground reaction force with one foot

圖8 步行中產(chǎn)生的豎向地面反力Fig.8 Vertical ground reaction force in walking

圖9 步行中產(chǎn)生的縱向地面反力Fig.9 Longitudinal ground reaction force in walking

圖10和圖11給出了人體上下兩部分m1和m2的豎向位移和加速度?？芍?，m1和m2的位移幅度接近，只是m1的位移滯后于m2。m1和m2的加速度接近，但由加速度局部放大圖可知，m1的加速度值要大于m2。即人體上下兩部分m1和m2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有所不同。新型雙足模型可反映人體不同部位的相對(duì)振動(dòng)情況。

從圖8和圖9中可以看出，持續(xù)步行的步行荷載時(shí)程是平穩(wěn)的。然而，如果沒(méi)有水平控制力作為反饋機(jī)制，人體水平速度將越來(lái)越小，經(jīng)過(guò)若干步之后步態(tài)將失去穩(wěn)定。如圖12所示，其中虛線為未施加控制機(jī)制的速度，很明顯，控制機(jī)制對(duì)于保持步態(tài)的穩(wěn)定是必須的。圖13所示即為步行中施加在人體上的水平控制力時(shí)程，由圖可得，水平控制力貫穿于整個(gè)步行過(guò)程中，且每一步的水平控制力相似。

通過(guò)圖13所示的水平控制力做功補(bǔ)償能量損失，使得步行過(guò)程中的總能量保持平衡，進(jìn)而保持人體平穩(wěn)步行。圖14所示為人體步行過(guò)程中的能量時(shí)程。從整個(gè)過(guò)程來(lái)看，在施加了反饋機(jī)制后，人體的能量在重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而總能量保持為常數(shù)不變。

圖11 m1和m2的加速度Fig.11 The acceleration of m1 and m2

圖12 步行中的水平速度Fig.12 Horizontal velocity in walking

圖13 步行中的水平控制力Fig.13 Control force in walking

圖14 步行中的人體能量Fig.14 Energy in walking process

圖15 一個(gè)步態(tài)內(nèi)的能量變化量Fig.15 Change in Energy across a gait cycle

圖15所示為一個(gè)完整步態(tài)內(nèi)的能量變化量時(shí)程。在雙足支撐階段的初始時(shí)刻，即本文模擬所選取的初始點(diǎn)，各能量變化量為零。隨后進(jìn)入單足支撐階段，人體身體部位開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)，重力勢(shì)能增加，此時(shí)腿部彈簧伸展且人體前進(jìn)速度減小，彈性勢(shì)能及動(dòng)能減小。當(dāng)支撐腿垂直地面時(shí)，此時(shí)人體身體部位達(dá)到最高，重力勢(shì)能達(dá)到整個(gè)過(guò)程的最大值，彈性勢(shì)能及動(dòng)能減為最小。隨著人體身體部位降低，重力勢(shì)能開(kāi)始減小，彈性勢(shì)能及動(dòng)能增大。最終到達(dá)下一個(gè)雙足支撐階段開(kāi)始時(shí)刻，各能量變化量重新變化到零。由此可見(jiàn)，步態(tài)結(jié)束時(shí)刻系統(tǒng)各能量狀態(tài)與步態(tài)開(kāi)始時(shí)刻相同，步態(tài)保持穩(wěn)定，新步態(tài)開(kāi)始。整個(gè)過(guò)程中，能量變化量整體未變，總能量的變化量始終為零。能量保持恒定。

3 參數(shù)影響分析

腿剛度、沖擊角和步行速度三個(gè)重要參數(shù)影響著人體的連續(xù)穩(wěn)定步行。本文研究了三個(gè)重要參數(shù)對(duì)步行特性的影響。

圖16所示為腿剛度對(duì)地面反力的影響，步行速度為1.1 m·s－1，沖擊角保持 69 °不變。從圖中可以看出，隨著腿剛度增加，豎向及縱向地面反力均增大。而腿剛度的變化對(duì)步行周期的影響較小。進(jìn)而在步行速度恒定下，步長(zhǎng)變化所受的影響也較小。

圖17所示為沖擊角對(duì)地面反力的影響，步行速度為1.1 m·s－1，腿剛度保持 20 kN·m－1不變。從圖中可以看出，隨著沖擊角增加，豎向及縱向地面反力均減小，步行周期減小。進(jìn)而在步行速度恒定下，步長(zhǎng)也減小。

圖16 腿剛度對(duì)地面反力的影響Fig.16 Effect of leg stiffness on ground reaction force

圖17 沖擊角對(duì)地面反力的影響Fig.17 Effect of attack angle on ground reaction force

圖18所示為步行速度對(duì)地面反力的影響，腿剛度為20 kN·m－1，沖擊角保持69°不變。從圖中可以看出，隨著步行速度增加，豎向及縱向地面反力均增大，步行周期減小。

圖18 步行速度對(duì)地面反力的影響Fig.18 Effect of walking speed on ground reaction force

4 結(jié)論

通過(guò)建立新型雙足模型模擬人體的步行運(yùn)動(dòng)，描述了步行中產(chǎn)生的地面反力及能量變化過(guò)程，分析了腿剛度、沖擊角和步行速度等參數(shù)對(duì)步行特性的影響。主要結(jié)論如下:

(1)新型雙足模型能夠考慮人體自身動(dòng)力特性及雙足步行特點(diǎn)，能夠模擬包括雙足和單足支撐階段的完整連續(xù)的步行過(guò)程。

(2)連續(xù)平穩(wěn)步行的新型雙足模型總能量恒定，其能量隨著步行過(guò)程在重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

(3)豎向及縱向地面反力受腿剛度、沖擊角和步行速度影響較大;而步行周期受腿剛度影響較小，受沖擊角和步行速度影響較大。

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