主軸－刀柄－刀具系統刀尖頻響函數的預測方法研究

王二化，吳 波，胡友民，王 軍，楊叔子

(1.常州信息職業技術學院 機電工程學院，江蘇 常州 213164;2.華中科技大學 數字制造裝備與技術國家重點實驗室，武漢 430074)

為保證切削過程的穩定性，通常用穩定性Lobe圖來確定切削過程中穩定和不穩定的切削區域，而穩定性Lobe圖的繪制需要首先獲取機床的動力學知識(刀尖頻響函數)。刀尖頻響函數可以通過激振實驗方法獲得［1－2］，但對于大量主軸、刀柄和刀具組合來說，需要對每一種組合重復相同的實驗，在生產實際中很難實現。為了解決這個問題，美國標準和技術研究院Schmitz等［3－4］提出了動柔度耦合子結構分析方法(RCSA)，接著，一些研究人員［5－7］對其進行了一些改進。在這些刀尖頻響函數預測模型中，一般通過模態疊加法計算刀柄和刀具端點頻響函數，這種方法有兩個方面的缺陷:① 引入模態誤差，降低子結構端點頻響函數精度;② 模態疊加法計算量較大，影響預測效率。

本研究是在課題組胡峰、吳波等相關研究基礎上［8－9］，針對模態疊加法中出現的問題，本研究以Timoshenko梁理論、傳遞矩陣法和RCSA耦合技術為基礎，提出了一種新的刀尖頻響函數預測方法。由于避免了大量復雜的模態分析，該算法在精度和效率方面都具有較大優勢，有助于快速地得到高精度的刀尖頻響函數，為保證切削過程的穩定提供必要的理論依據和技術支持。

1 基于Timoshenko梁的傳遞矩陣理論

在結構動力學分析中，常用的梁結構包括歐拉－伯努利梁和Timoshenko梁兩種形式。歐拉－伯努利梁適用于高度遠小于跨度的細長結構，但對于跨度長度比較小的結構，計算精度就很難滿足實際需要。針對主軸、刀柄和刀具結構特點，利用考慮剪切變形和轉動慣量的Timoshenko梁理論［10］建立各子結構動力學模型，根據參考文獻［11－12］，作者通過單段Timoshenko梁運動學方程和動平衡條件計算各子結構左右兩端截面之間的傳遞矩陣。

1.1 單段Timoshenko梁的傳遞矩陣

以兩端自由的Timoshenko梁段作為研究對象，計算其左右兩端的傳遞矩陣，梁段如圖1所示。

圖1 Timoshenko梁模型Fig.1 Timoshenko beam model

Timoshenko梁段的運動方程如下所示

其中:y(x，t)為梁上任一點的瞬時位移;A是梁段橫截面積;m為單位長度的梁段質量;E是楊氏彈性模量(假設各向同性);G是剪切模量;k是剪切系數;I是二階截面慣性矩，l為梁段長度，Mi－1，Qi－1分別為梁段左端面的彎矩和剪切力，Mi，Qi分別為梁段右端面的彎矩和剪切力。

兩端自由Timoshenko梁段的動平衡方程為

根據Timoshenko梁段運動和動平衡方程，可以推導出梁段左截面狀態矢量為

同樣，梁段右端面的狀態矢量為

其中，矩陣T1和T2如表達式(3)和(4)所示，可得梁段左端面和右端面之間的關系如下

因此，可得兩端自由Timoshenko梁段左端面和右端面之間的傳遞矩陣如下所示。

1.2 彈性支撐元件的傳遞矩陣

在主軸建模過程中，除了兩端自由Timoshenko梁左右端面之間的傳遞矩陣外，還需考慮軸承等彈性支撐元件左右端面的傳遞矩陣。本節以等效剛度ky和等效粘性阻尼系數cy支撐的無質量Timoshenko梁段為研究對象，分析其受力情況，如圖2所示。

圖2 彈性支撐結構及其受力分析圖Fig.2 Structure and the force analysis diagram of elastic supporting

其中:Mi－1和Mi分別為施加在彈性支撐左端面和右端面上的彎矩;Qi－1和Qi分別為彈性支撐左端面和右端面上的剪切力;yi－1為彈性支撐左端面上的直線位移;ω是角頻率。根據平衡和兼容條件，彈性支撐左右端面的位移、轉角、彎矩和剪力之間的關系如下所示

彈性支撐左右端面狀態矢量的傳遞矩陣為

2 建立刀尖頻響函數預測模型

如上所述，本研究利用多段Timoshenko梁建立主軸、刀柄和刀具模型，并通過傳遞矩陣法計算各子結構端點頻響函數，最后利用RCSA法耦合各子結構預測刀尖頻響函數。

2.1 獲取各子結構端點頻響函數

通過上述Timoshenko梁和彈性支撐元件的傳遞矩陣理論，獲取各子結構左右端面總體傳遞矩陣，并通過適當變換，計算各子結構端點頻響函數。

首先定義子結構端點頻響函數H，N，L和P如下

其中:y和θ分別為子結構端點直線位移和角位移;f和m分別為作用在端點0和k上的力和彎矩。

以主軸為研究對象，利用多段Timoshenko梁理論和彈簧阻尼單元建立主軸動力學模型如圖3所示。

圖3 彈簧和阻尼支撐的主軸動力學模型Fig.3 Dynamic model of the spindlesupported by springs and dampers

其中:kyf和cyf分別為主軸前軸承的直線剛度和阻尼;kyr和cyr分別為主軸前軸承的直線剛度和阻尼;0，1，2，…，11代表多段 Timoshenko梁的各個截面;［T1］，［T3］，…，［T8］，［T10］，［T11］分別表示分布質量梁段左右端面狀態矢量傳遞關系，［T2］和［T9］表示彈性支撐單元的傳遞矩陣。

通過單段Timoshenko梁和彈性支撐單元傳遞矩陣計算方法，可得主軸子結構的整體傳遞關系如下所示

為了計算主軸端點頻響函數，將0點到11點狀態矢量的傳遞方程修改為

為了獲取刀尖頻響函數H00和N00，方程(12)可以簡化為

方程(13)的后兩個表達式如下所示

刀尖頻響函數H00和N00可以得到

利用相似的方法，刀尖頻響函數 L00和 P00可以得到

利用同樣的方法，可以得到剩余的12個刀尖頻響函數。

主軸端點頻響函數矩陣可以表示如下

同樣利用多段Timoshenko梁建立刀柄和刀具動力學模型，如圖4所示。

圖4 刀柄和刀具動力學模型Fig.4 Dynamic model of the holder and tool

其中:0，1，2，…，6等分別為各段 Timoshenko梁端面，［T1］，［T2］，［T3］，…，［T6］等分別為各段 Timoshenko梁左右端面之間的傳遞矩陣。

利用和計算主軸端點頻響函數相似的方法，可以得到刀柄和刀具端點頻響函數，其頻響函數矩陣分別為

2.2 RCSA子結構耦合理論

得到主軸、刀柄和刀具三個子結構的端點頻響函數矩陣后，利用RCSA方法獲取主軸－刀柄－刀具系統的刀尖頻響函數［7］，三部件耦合結構如圖5所示。為了獲得更加精確的刀尖頻響函數，主軸－刀柄與刀柄－刀具之間結合面直線與轉動剛度和阻尼均需考慮。為了建立一個更加真實的模型，主軸中的刀柄部分看成是主軸的一部分，刀柄中的主軸部分看成是刀柄的一部分。

圖5 主軸、刀柄和刀具的彈性耦合結構Fig.5 Elastic coupling structure of the spindle，holder and tool

主軸－刀柄結合面動力學的復剛度矩陣可以表示如下

利用RCSA方法，主軸－刀柄耦合系統SH端點頻響函數如下所示

得到主軸－刀柄耦合系統SH端點頻響函數后，利用相似的方法，主軸－刀柄－刀具系統的端點頻響函數矩陣可以得到。裝配體刀尖頻響函數矩陣的第一個元素如下所示［7］

其中:Kht是刀柄－刀具結合面的復剛度矩陣，如下所示

3 案例研究和討論

3.1 刀尖頻響函數計算

為了論證本研究提出的刀尖頻響函數預測方法，本章選擇參考文獻［7］使用的案例進行刀尖頻響函數預測研究，本案例使用的主軸－刀柄－刀具系統如圖6所示。

圖6 案例研究的各子結構及其裝配體Fig.6 Each substructure and the assembly of case study

選擇鋼作為主軸，刀柄和刀具的材料，密度ρ=7800 kg/m3，楊氏模量 E=200GPa，泊松比 v=0.3。軸承、結合面動態參數及主軸、刀柄和刀具結構尺寸如表1～3所示。

表1 軸承及各結合面平均動態參數Tab.1 Average dynamic parameters of the bearing and interfaces

表2 軸承距主軸右端面的距離Tab.2 Distancesofthebearings fromtherightendofthespindle

表3 子結構尺寸:(1)主軸，(2)刀柄，(3)刀具Tab.3 Substructuredimensions:(1)spindle;(2)holder;(3)tool

其中，各子結構梁段都是從圖形右邊開始編號，刀具懸臂長度為85mm。

根據本案例提供的各子結構尺寸、軸承、結合面動態參數，利用本研究提出的刀尖頻響函數預測方法，計算主軸－刀柄－刀具系統刀尖頻響函數。研究發現，在刀尖頻響函數計算過程中，需要進行大量的矩陣運算，因此，選擇擅長矩陣運算的大型工程軟件MATLAB實現本研究提出的算法［13］。

通過RCSA耦合方法，利用彈簧阻尼單元將主軸、刀柄和刀具三個子結構耦合起來，可以得到刀尖頻響函數如圖7所示。

由圖7可以看出，在感興趣的頻帶(0～4000Hz)范圍內有七階模態，前兩階剛體模態固有頻率分別為71.6Hz和196.1Hz，它們主要取決于主軸的尺寸，支撐方式和支撐位置。其它模態都是彈性模態，它們主要受主軸－刀柄和刀柄－刀具結合面參數控制。

3.2 有限元仿真驗證

圖7 主軸－刀柄－刀具系統刀尖頻響函數:幅值和相位圖Fig.7 ToolpointFRFofthespindle－holder－tool system:magnitudeandphasediagrams

為了驗證本文提出的計算方法，利用有限元軟件ANSYS12.0建模給定的主軸、刀柄和刀具組合，通過有限元分析方法獲取主軸－刀柄－刀具系統的刀尖頻響函數［14－15］。在這個有限元模型中，Timoshenko梁單元Beam188用來建模給定組合的每個子結構，Beam188梁單元具有兩個結點，并且每個結點能處理六個自由度。軸承、主軸－刀柄和刀柄－刀具結合面的動態特征利用ANSYS12.0的彈簧阻尼單元進行模擬。給定的主軸－刀柄－刀具組合的有限元、文獻［7］和本文分析結果，及誤差百分比如表4所示。

表4 案例研究中裝配體的固有頻率Tab.4 Naturalfrequencyofthe assemblyinthiscasestudy

由表4可以看出，本研究提出的刀尖頻響預測方法與有限元結果一致性較好，前七階模態最大誤差不超過3%，除第二階模態固有頻率精度稍差外，其它幾階模態固有頻率精度都明顯優于參考文獻［7］提出的計算方法。

利用指定的計算機(Pentium?Dual－CoreCPU2.93 GHz，2.0 GB RAM)，通過有限元模型計算給定組合刀尖頻響函數(頻段:0～4000 Hz，頻率增量:0.5 Hz)需要30 min。然而，在同一臺計算機上，通過本文提出的理論模型計算給定組合刀尖頻響函數僅需30 s，而利用文獻［7］提出的預測模型大約需要45 s，可以看出，本文提出的分析方法大大減少了計算時間，這主要因為避免了有限元模型和文獻［7］中大量的模態分析，此外，由MATLAB軟件實現的傳遞矩陣法能直接求解裝配體的頻響函數，省去了在有限元分析方法中大量的建模和網格劃分時間。

4 結論

本研究結合Timoshenko梁理論、傳遞矩陣法和子結構耦合方法，提出了一種主軸－刀柄－刀具系統刀尖頻響函數預測模型。比較有限元、文獻［7］和本文提出的理論模型計算結果，可以發現，和文獻［7］建立的刀尖頻響函數預測模型相比，本文提出的理論模型在精度和效率方面都具有明顯優勢。本研究提出的刀尖頻響函數預測方法有助于快速地得到高精度的立式銑床刀尖頻響函數［16］，為保證切削過程的穩定提供必要的理論依據和技術支持。

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