概率題的類型和解法

趙建勛

課本中給出了關于概率的許多公式，學生在學習中常覺得無所適從，不知用哪個公式，為解決這個問題，本文介紹概率題的類型和解法，現舉例說明.

一、等可能性事件的概率

求等可能性事件的概率一般是借助排列組合的方法，分別求出公式P（A）=mn中的m、n的值.

例1在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑.現在可供選用的不同添加劑有6種，其中芳香度為1的添加劑1種，芳香度為2的添加劑2種，芳香度為3的添加劑3種.根據試驗設計原理，通常要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗.

（Ⅰ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率；

（Ⅱ）求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率.

解設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3”為事件A，則P（A）=C12C26=215；即所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為3的概率為215.

（Ⅱ）設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數”為事件B，則事件B有三種可能：芳香度為1和3的情況有C13種，芳香度為2和2的情況有C22種，芳香度為3和3的情況有C23種.所以P（B）=C13+C22+C23C26=715.

即所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和為偶數的概率為715.

點評解本題的關鍵是求出試驗中可能出現的基本事件的個數及指定事件的基本事件的個數.因此這類問題最終可以轉化為排列、組合問題進行求解.

二、互斥事件有一個發生的概率

解這類問題首先要判斷兩個或多個事件是否互斥，只有這樣才能正確使用公式進行求解，因此這類問題通常轉化為計算幾個互斥事件的概率，再求和.

例2某商場舉行抽獎活動，從裝有編號0，1，2，3四個小球的抽獎箱中，每次取出后放回，連續取兩次，取出的兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎.（Ⅰ）求中三等獎的概率；（Ⅱ）求中獎的概率.

解設“中三等獎”為事件A，中獎為事件B，從四個小球中有放回的取兩個共有4×4=16種不同的方法.（Ⅰ）兩個小球號碼相加之和等于3的取法有4種：（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）.故P（A）=416=14；（Ⅱ）兩個小球號碼之和等于3的取法有4種，兩個小球號碼之和等于4的取法有三種：（1，3），（2，2），（3，1）；兩個小球號碼相加之和等于5的取法有兩種：（2，3），（3，2）.

由互斥事件的加法公式得P（B）=416+316+216=916.

點評（Ⅱ）中把“中獎”這件事情拆分成幾個互斥事件的和，分別進行計算，起到了化繁為簡的作用.

三、相互獨立事件同時發生的概率

如果兩個（或多個）互相獨立的事件同時發生，其概率計算可轉化為幾個獨立事件的概率的乘積.因此問題最終也可以轉化為隨機事件或等可能性事件的概率計算.

例3某種家用電器的銷售利潤與該電器的無故障使用時間有關.每臺這種家用電器若無故障使用時間不超過一年，則銷售利潤為0元；若無故障使用時間超過一年而不超過三年，則銷售利潤為100元；若無故障使用時間超過三年，則銷售利潤為200元.

已知每臺這種家用電器無故障使用時間不超過一年的概率為15；無故障使用時間超過一年而不超過三年的概率為25.（Ⅰ）求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元的概率；（Ⅱ）求銷售三臺這種家用電器的銷售利潤總和為300元的概率.

解（Ⅰ）根據條件得，無故障使用時間超過三年的概率為25.設銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和為400元為事件A，則P（A）=25×25=425.

故銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和