小樣本下基于貝葉斯空間估計的故障診斷算法

閆治宇

摘 要：針對小樣本下系統故障診斷問題，提出一種基于貝葉斯空間估計與主元分析（Principal Component Analysis， PCA）相結合的方法。首先運用主元分析離線建立（Squard Prediction Error）統計量閾值和故障模式特征向量矩陣庫，然后在小樣本情況下通過利用故障先驗信息，采用吉布斯抽樣（Gibbs Sampling， GS）提取數據特征向量矩陣，再利用與故障模式特征向量矩陣的相似性，完成故障診斷。實驗結果表明了此方法的有效性。

關鍵詞：主元分析 故障診斷 小樣本 吉布斯抽樣 矩陣相似性

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）03（c）-0059-02

隨著科學技術的飛速發展，自動控制系統的規模越來越大，相應地也增加了系統復雜性，一旦系統發生故障將會給人們的生命安全帶來巨大的危害[1]，因此，提高系統的安全性和可靠性至關重要。而現如今大多數故障診斷方法都是在大樣本數據下進行的[2]，未考慮小樣本時方法的有效性，因而解決實際中有時受環境影響只能得到小樣本數據時的故障診斷問題具有很大的研究意義。

1 算法設計

針對小樣本情況下系統故障檢測和診斷的算法設計分為兩個階段：算法提出和算法驗證。算法提出：我們發現基于貝葉斯主元模型與PCA主元模型一致，因此提出將兩種方法相結合用于小樣本情況下系統的故障檢測和診斷；故障檢測統計量采用統計量[3]，故障特征向量矩陣表征了故障發生時所有變量的變化方向[4]，可以利用特征向量矩陣相似性進行故障診斷。算法設計：首先根據先驗信息利用PCA建立故障檢測閾值和故障特征向量矩陣庫，再利用基于貝葉斯空間估計完成在線測量數據的主元特征向量矩陣提取，然后利用統計量來實現故障檢測，利用故障特征向量矩陣相似性實現故障診斷[5]。

2 算法實現

按上述算法設計離線建立故障檢測閾值與故障庫，當檢測出系統發生故障時，由于受一定的環境影響所得樣本數目少，這時就無法構成穩定的協方差矩陣，為解決這個問題，本文提出利用基于貝葉斯空間估計的方法提取特征向量矩陣，特征向量矩陣可由貝葉斯后驗分布求得[6]，如式（1）可得：

（1）

其中，，可根據信噪比得到，即，為數據矩陣標準化矩陣。

基于上述條件，利用下述算法可計算矩陣，為隨機抽樣所得特征向量矩陣。

輸入：任意初始變量

1：for do

2：由式（1），通過GS得

3：end for

由上述一序列隨機抽樣矩陣，可得估計特征向量矩陣，其中為取括號內矩陣的個主元向量。

根據上述步驟可得小樣本數據的特征向量矩陣。

本文采用特征向量矩陣相似性實現故障診斷，矩陣相似性如式（2）所示

（2）

其中，式（2）中的為加權系數，用以強調不同投影方向的不同重要性。滿足，并且。所以，式（2）的值越接近1，表明兩個矩陣的相似度越高[6]。

根據以上給出的算法步驟，求得估計的特征向量矩陣與已知故障模式特征向量矩陣相的似性，確定故障模式完成故障診斷。

3 仿真驗證

取，，，，，；通過取所加故障時刻的前后時刻樣本數，作為小樣本數目。可得故障診斷結果如下：

為說明文中所提方法的優越性，還與小樣本協方差估計的方法[7]進行對比，由圖1可以看出在小樣本情況下，基于貝葉斯空間估計方法的矩陣相似度明顯高于PCA、小樣本協方差估計方法的矩陣相似度。圖2為三種方法所提取特征向量矩陣與故障庫中的10種不同故障模式特征向量矩陣的相似度，由圖可以看出只有基于貝葉斯空間估計所提取的特征向量矩陣與故障第一類模式的相似度最大，也驗證了與實驗所取第一類故障樣本數據相吻合，從而此方法可實現小樣本下系統的故障診斷。

4 結論

該文提出了一種將基于貝葉斯空間估計和PCA相結合的方法用于小樣本情況下故障診斷，根據發生不同的故障對應不同的特征向量矩陣，采用特征向量矩陣相似性來實現故障診斷。實驗結果驗證了此方法在小樣本情況下故障診斷的優越性。

參考文獻

[1] 周東華，葉銀忠.現代故障診斷與容錯控制[M].北京：清華大學出版社，2000.

[2] 陽憲惠，張杰.多變量統計過程控制[M].北京：化學工業出版社，2000.

[3] 邱宗江，劉慧霞，席慶彪，肖佳偉.無人機PCA故障檢測與診斷技術研究[J].計算機工程與應用，2013，04：262-266.

[4] 郭明，王樹青.基于特征子空間的系統性能監控與工況識別[J].化工學報，2004， 55（1）：151-154.

[5] 王姝.基于數據的間歇過程故障診斷及預測方法研究[D].東北大學，2010.

[6] Besson O， Dobigeon N， Tourneret J Y. Bayesian Estimation of a Subspace [J].Signals Systems and Computers. IEEE， 2011， PP： 629-633.

[7] Tadjudin S，Landgrebe D A. Covariance Estimation for Limited Training Samples[C]. Geoscience and Remote Sensing Symposium Proceedings， IEEE International. 1998， 5： 2688-2690.