不確定性線性系統研究的現狀與方法

張玲 趙鵬起 孫立偉

摘 要：該文主要從現代控制理論存在問題、主要特征和研究現況等方面對不確定性線性系統進行充分調研，從而得出現代控制理論需要增加數學方法研究，希望對現代控制理論研究有所幫助。

關鍵詞：不確定性 線性系統 魯棒理論 軟約束

中圖分類號：TP13 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）03（c）-0011-01

20世紀中葉，伴隨現代控制理論的蓬勃發展，線性系統理論也開始引起學者關注，成熟的線性理論系統都要求建立精確的線性數學模型，這也是經典理論存在的缺點，它難以有效處理不確定性或受約束的系統。科學家卡爾曼將狀態空間的描述引入到線性系統控制理論中，使得線性系統的研究方法和研究內容都取得一系列新突破。

1 現代工業控制理論

1.1 現代控制理論存在的問題

（1）現代控制理論對于被控對象數學模型的精確度過分依賴。

實際工業生產過程中，精確的數學模型難以建立，如果建立起精確的工業生產模型，往往由于模型過于復雜難以得出合理的理論，從而不得不對于控制器進行簡化合并。

（2）生產過程非理想過程。

實際工業生產過程由于溫度和外部干擾經常伴隨著非線性或不確定性變化。這種不確定性不可能通過精確的數學計算而得到，因此數學意義上的最優化處理對于實際過程就失去實際意義，甚至會出現反作用，導致產品品質嚴重下降而無法正常生產。

（3）狀態空間法本身的缺陷。

實際應用領域中，各種生產過程、設備等對象是動態變化，難以精確的描述；即使獲得精確的數學模型，由于條件多，過于復雜現有控制系統無法實現，因此對這類數學模型進行簡化。另外，設計出的精確模型，隨著生產過程中工作條件變化，控制系統內和被控對象都發生變化，這種因素的變化使數學模型不可避免的存在誤差。

1.2 現代工業控制顯著特征

現代工業生產過程關聯復雜，研究對象結構和參數時變，環境干擾不確定性等特征，然而傳統的優化控制需要精確的數學模型，往往優于單純調節，現在問題在于如何適應動態控制中，形成符合復雜工業過程優化控制模式。

目前復雜工業控制優化問題與傳統理論不一致，它的主要特征如下。

（1）性能指標與約束條件。

傳統控制理論中，優化的性能指標和約束條件界限分明，而在復雜的工業環境中，二者的區別已被淡化，而且可以相互轉化。

（2）約束條件分類。

根據要求條件的重要性，約束條件分為三類：

根據控制系統物理性質和安全性考慮，對控制變量有著硬性要求，也就是“硬約束”，這類要求在控制過程中必須滿足，否則違反規定或不能實現目標。

“軟約束”條件為滿足某種產品質量要求，存在一些彈性變化。例如控制水分含量在5%以內，0%～5%是軟約束，一旦超過5%時，就破壞產品質量，從而“軟約束”轉化為“硬約束”。

為提高生產效率和產品質量，從而追求更高附加值，從而進一步考慮一種“更軟的約束”，這就需要不確定性模型和約束條件。

現代復雜工業控制對象中幾乎所有的控制系統都有不確定性約束條件，尤其是隨著產品質量和經濟效益要求不斷提高，從而使的控制系統的工作點不斷接近邊緣化，此時，線性有約束不確定系統優化控制問題研究就具有很重要的實際意義。

2 研究現狀和主要方法

有約束的線性不確定控制問題主要是研究不確定線性系統，在固定條件下設計控制系統從而獲得某種性能指標最優，即最優化控制。所用方法有中，約束控制方法保證系統穩定性的同時存在非線性控制規律；拉格朗日乘子法解決具有初始狀態線性約束控制問題；凸集合理論用作解決有狀態和控制約束的線性離散系統控制問題；滾動優化策略實現約束系統的控制問題，但對于解決二次型導致的非線性困難具有較重的計算負擔。

2.1 魯棒理論

為能夠廣泛應用現代控制理論，自適應控制盒魯棒控制成為控制理論研究熱點。一般而言，系統的數學模型與實際中參數有些差異，而實際生產中控制大多基于數學模型，為減少外界系統干擾和系統不確定，促進研究魯棒控制問題，這樣控制研究的重點變為線性矩陣不等式的攻克。為進一步解決實際生產過程中最優化控制問題，很多數學工具被充分利用，例如變分法、動態規劃和極大值原理。

2.2 滾動時域控制

滾動時域控制是一種新型控制方法，又被稱為模型預測控制。其最大優點在于能夠優化并顯示被系統約束條件，并且動態滿足，但它不能采用全局優化目標，而是采用滾動時域策略。這種策略操作導致有限優化目標只能得到全局次優解，而難以兼顧失配、時變、干擾等引起的不確定性，從而難以及時進行彌補，因此需要把優化建立在實際生產的基礎上，從而使保持實際最優。因此滾動時域控制需要兼顧未來長時間理想優化，又要考慮實際生產過程中不確定影響，從而適應復雜的實際生產環境。

2.3 線性矩陣不等式

隨著求解凸優化問題，線性矩陣不等式再次受到控制界的關注，并且應用到系統控制的各領域。復雜控制問題多數可以轉化為一個線性矩陣不等式系統的可行性問題，或者是一個具有線性矩陣不等式約束的優化問題。線性矩陣不等式優勢在于可以應用求解凸優化問題并且可以有效方法求解。根據凸約束條件設計出控制器，不單得到滿足設計的控制器，而且還得到任意凸約束條件的可行解，這樣可以得到滿足條件的一組控制器。

3 結語

通過對現代控制理論現況分析和研究進展的調研，從而得到數學中的線性矩陣不等式起著重要作用，從而為進一步理論研究提供參考依據。

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