基于加速度反饋的柔性系統(tǒng)機械諧振抑制研究*

金 杰， 王 爽， 黃蘇融

(1.上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072;2.山東工商學(xué)院信息與電子工程學(xué)院，山東煙臺 264005)

0 引言

伺服驅(qū)動系統(tǒng)通常由伺服電機、聯(lián)軸器、傳動軸和機械負(fù)載組成。為提高系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)和節(jié)約能源，驅(qū)動部件通常采用小型輕量化設(shè)計，但該設(shè)計會減小傳動裝置剛度，降低固有頻率，當(dāng)固有振蕩頻率位于調(diào)速系統(tǒng)的工作頻帶范圍內(nèi)，軸系就有可能出現(xiàn)機械振蕩［1］。機械諧振帶來諸多不利影響，如:縮短機械設(shè)備壽命，甚至損壞機械系統(tǒng);降低驅(qū)動系統(tǒng)性能，嚴(yán)重時導(dǎo)致系統(tǒng)振蕩;產(chǎn)生噪聲污染，降低環(huán)境舒適性［2］。因此，機械諧振抑制已成為高性能伺服驅(qū)動的重要研究課題之一。

機械諧振抑制在機器人伺服驅(qū)動、太空機械臂驅(qū)動、探測天線驅(qū)動、風(fēng)力發(fā)電、鋼廠軋輥驅(qū)動等領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注和深入研究［2-8］。眾多研究方案大致可分為主動方式與被動方式兩大類。被動方式主要有:(1)改進傳動系統(tǒng)機械設(shè)計，提高傳動裝置固有頻率;(2)在速度調(diào)節(jié)器后串接陷波濾波器，濾除固定的諧振頻率分量［2］。主動方式即主動改變控制器參數(shù)或結(jié)構(gòu)來消除系統(tǒng)諧振。主動方式可以分為:(1)基于負(fù)載側(cè)傳感器信息的諧振抑制［3］;(2)采用觀測器方法的狀態(tài)估計諧振抑制［4-7］;(3)采用智能算法的諧振抑制［8］。現(xiàn)有的研究方案主要是通過采用傳感器方法或狀態(tài)估計方法，將獲得擾動力矩或加速度信息反饋到電流環(huán)進行諧振抑制。文獻［9］對比分析了負(fù)載速度、加速度和柔性軸轉(zhuǎn)矩等9類反饋補償方法，研究結(jié)論表明加速度反饋也能取得與軸轉(zhuǎn)矩反饋相同的效果。文獻［10］指出加速度反饋能抑制系統(tǒng)諧振的同時無需增加速度環(huán)帶寬，并給出了加速度反饋設(shè)計原則。文獻［11］分析了 IP(integral-proportional)、m-IP(modified IP)和m-IPD(modified integral-proportional-derivative)三類低階控制器對提高系統(tǒng)魯棒性和擴大負(fù)載慣量比的影響，研究結(jié)論表明m-IPD能有效擴大負(fù)載慣量比，但微分環(huán)節(jié)正反饋降低了系統(tǒng)魯棒性。文獻［12］采用極點配置的方法研究了負(fù)載慣量的匹配范圍，研究結(jié)論表明當(dāng)慣量比在2～4之間，系統(tǒng)具有理想的阻尼。當(dāng)慣量比＜1時，普通PI調(diào)節(jié)器已經(jīng)不能滿足動態(tài)性能要求。采用電機側(cè)轉(zhuǎn)速微分反饋雖然能將極點配置到合適位置，同理，微分正反饋也會降低系統(tǒng)的魯棒性。

本文在文獻［11-12］的基礎(chǔ)上，分析了不同端口加速度反饋對系統(tǒng)極點分布的影響。根據(jù)慣量比的不同范圍，采用不同端口的加速度反饋，實現(xiàn)電機慣量與負(fù)載慣量的合理匹配，達到抑制系統(tǒng)機械諧振和擴大負(fù)載慣量比的目的，同時，避免了速度微分正反饋所帶來的魯棒穩(wěn)定性問題。

1 柔性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

由電機與柔性負(fù)載構(gòu)成的傳動系統(tǒng)框圖如圖1所示，其中JM為電機轉(zhuǎn)動慣量、JL為負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量、KS為柔性聯(lián)結(jié)彈性系數(shù)、KB為阻尼系數(shù)，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，電機端與負(fù)載端轉(zhuǎn)速分別為 ωM和 ωL。

圖1 柔性系統(tǒng)框圖

在電磁轉(zhuǎn)矩Te作用下，柔性聯(lián)結(jié)產(chǎn)生彈性形變，形變轉(zhuǎn)矩為KS× ( θM－ θL)。根據(jù)機械系統(tǒng)的運動方程，導(dǎo)出傳動系統(tǒng)的矩陣方程為

由于 sθM=ωM，sθL=ωL，根據(jù)式(1)得到負(fù)載轉(zhuǎn)速ωL到電磁轉(zhuǎn)矩Te的傳遞函數(shù)為

式(2)右邊第1項為剛體運動傳遞函數(shù)，第2項為柔性傳動非線性傳遞函數(shù)。由于阻尼系數(shù)KB通常很小，對諧振頻率的影響有限，因此不妨設(shè)阻尼系數(shù)KB=0。不難得到式(2)非線性傳遞函數(shù)的反諧振頻率和諧振頻率分別為

式中:R——負(fù)載慣量比，R=JL/JM。

由式(3)可知反諧振頻率ωar只與彈性系數(shù)和負(fù)載慣量有關(guān)，與電機慣量無關(guān);諧振頻率ωr與彈性系數(shù)和負(fù)載慣量比有關(guān)，減小慣量比R諧振頻率向反諧振頻率點移動，有利于抑制系統(tǒng)諧振。

2 控制策略分析

基于多機械端口加速度反饋的柔性系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。速度控制器采用IP結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)速反饋取自于電機端口，加速度信號考慮取自于如下端口:電機側(cè)機械輸出端口(Case A);負(fù)載側(cè)機械輸出端口(Case B);柔性軸系兩端的機械端口(Case C)。

圖2 基于加速度反饋的柔性系統(tǒng)控制框圖

2.1 無加速度反饋補償

由于電流環(huán)帶寬遠高于速度環(huán)帶寬，不妨設(shè)電流環(huán)傳遞函數(shù)Gi(s)=1。無加速度反饋時的傳遞函數(shù)，負(fù)載側(cè)輸出轉(zhuǎn)速到轉(zhuǎn)速指令的傳遞函數(shù)為

其中:a1=KSkp;a2=JLki+JLKS+JMKS;a3=JLkp;a4=JLJM。

對應(yīng)的特征方程為

為使閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的動態(tài)性能，設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

式中:ω1、ω2——自然諧振角頻率;

ζ1、ζ2——阻尼比。

將式(7)展開，并與式(6)對比得到的IP控制器參數(shù)和約束條件分別為

由于IP調(diào)節(jié)器僅有一對可調(diào)節(jié)的參數(shù)(kp，ki)，因此不能對特征方程(7)的4個極點進行任意配置。假設(shè)諧振系統(tǒng)具有相同的阻尼比，即有ζ1= ζ2= ζ，則約束條件式(9)可簡化為

通常要求系統(tǒng)的阻尼為0.7≤ζ≤1，因此對應(yīng)的慣量比2≤R≤4。可見在無加速度反饋的條件下，系統(tǒng)匹配的慣量范圍小，限制了驅(qū)動系統(tǒng)的應(yīng)用范圍。

2.2 電機側(cè)加速度反饋補償

采用電機側(cè)機械端口加速度反饋補償(Case

考慮到ω1，ω2是一個非負(fù)實數(shù)，所以有:A)時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

對比式(12)與期望特征方程式(7)的系數(shù)，得IP控制器參數(shù)和約束條件為

其中:RM=JL/(JM+k1)。

同理，假設(shè)系統(tǒng)阻尼比ζ1=ζ2=ζ，則約束條件式(14)可簡化為

進而可導(dǎo)出阻尼比約束條件為

當(dāng)阻尼比0.7≤ζ≤1時，電機匹配的慣量比范圍為

可見，采用電機側(cè)加速度反饋，相當(dāng)于增加了電機轉(zhuǎn)子慣量，減小了轉(zhuǎn)動慣量比，增加了電機帶大慣量負(fù)載的能力，所以該反饋方式適用于驅(qū)動大慣量負(fù)載的場合。

2.3 負(fù)載側(cè)加速度反饋補償

采用負(fù)載側(cè)機械端口加速度反饋補償(Case B)時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

對比式(18)與期望特征方程式(7)的系數(shù)，得IP控制器參數(shù)和約束條件分別分布為

其中:RL=( JL+k2)/JM。

假設(shè)阻尼比ζ1=ζ2=ζ，則約束條件式(20)可簡化為

同理，可推得系統(tǒng)阻尼比的約束條件為

當(dāng)期望的阻尼比0.7≤ζ≤1時，則對應(yīng)慣量比范圍為

可見通過反饋負(fù)載端口加速度，相當(dāng)于增加了負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量，增大了系統(tǒng)的慣量比。對于小慣量負(fù)載驅(qū)動，采用該端口加速度反饋有利于機械諧振抑制。

2.4 軸系兩端加速度反饋補償

采用柔性軸系兩端速度差加速度反饋補償(Case C)時，系統(tǒng)的特征方程為

對比式(24)和期望特征方程式(7)的系數(shù)，得IP控制器參數(shù)表達式和約束方程分別為

假設(shè)阻尼比ζ1=ζ2=ζ，則約束條件式(18)可簡化為

進而可推得阻尼比范圍為

當(dāng)阻尼比0.7≤ζ≤1時，系統(tǒng)的負(fù)載慣量比范圍為

可見，采用柔性軸系兩端的加速度差反饋時，相當(dāng)于在減小負(fù)載慣量的同時增加電機轉(zhuǎn)子慣量，大大減小了傳動系統(tǒng)負(fù)載慣量比。對于相同的反饋系數(shù)，軸系兩端加速度差反饋效果強于電機端口加速度反饋，適合于驅(qū)動更大慣量的負(fù)載。

通過上述分析可知，采用不同端口加速度反饋等效于改變傳動系統(tǒng)電機和/或負(fù)載的機械慣量，針對不同轉(zhuǎn)動慣量的機械負(fù)載，按表1選擇不同端口加速度反饋方式，實現(xiàn)電機與負(fù)載慣量的合理匹配，進而達到抑制柔性系統(tǒng)機械諧振的目的。

由于IP調(diào)節(jié)器只有一對可調(diào)參數(shù) ( kp，ki)，不能任意配置系統(tǒng)的四個極點，因此在采用加速度反饋時，需要對系統(tǒng)的阻尼作一個約束ζ1=ζ2=ζ，然后再調(diào)節(jié)加速度反饋系數(shù) (ki，i=1，2，3)，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有理想動態(tài)響應(yīng)。

表1 不同端口加速度反饋的阻尼比與慣量比之間的關(guān)系

3 仿真試驗

為驗證不同機械端口加速度反饋對不同轉(zhuǎn)動慣量柔性負(fù)載的諧振抑制，搭建基于MATLAB/Simulink的柔性負(fù)載伺服驅(qū)動仿真模型。其仿真參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)表

當(dāng)慣量比R=0.2，即所帶負(fù)載為小慣量負(fù)載，采用Case B所示的負(fù)載端口加速度反饋，得到系統(tǒng)極點分布如圖3(a)所示，極點分布于ζ=0.7的線上，且遠離虛軸。柔性軸系上的輸出轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)速如圖3(b)和圖3(c)所示，可見采用負(fù)載端口加速度反饋，有利于提高轉(zhuǎn)速響應(yīng)，減少轉(zhuǎn)矩波動，抑制系統(tǒng)諧振。

圖3 R=0.2時的閉環(huán)極點、轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩響應(yīng)圖

當(dāng)慣量比R=4，即所帶負(fù)載為中慣量負(fù)載，采用Case A所示的電機端口加速度反饋，得到系統(tǒng)極點分布如圖4(a)所示，極點分布于ζ=0.7的線上，且遠離虛軸。柔性軸系上的輸出轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)速如圖4(b)和圖4(c)所示，可見采用電機端口加速度反饋，減少了負(fù)載慣量比，有利于提高轉(zhuǎn)速響應(yīng)，減少轉(zhuǎn)矩波動，抑制系統(tǒng)諧振。

圖4 R=4時的閉環(huán)極點、速度和轉(zhuǎn)矩響應(yīng)圖

當(dāng)慣量比R=8，即驅(qū)動大慣量負(fù)載，分別采用Case A和Case C兩種加速度反饋，得到系統(tǒng)極點分布如圖5(a)所示，采用兩種反饋方式均能使極點分布在ζ=0.7的線上，但Case A的主導(dǎo)極點較Case C的極點離虛軸近，因此采用Case C加速度反饋的動態(tài)響應(yīng)較Case A加速度反饋快，軸上的輸出轉(zhuǎn)矩和負(fù)載轉(zhuǎn)速分別如圖5(b)和圖5(c)所示。可見兩種反饋方式均能使得閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的阻尼比，都能抑制系統(tǒng)的諧振，但軸系兩端的加速度反饋效果較電機端口加速度反饋強，適合更大負(fù)載慣量比的場合。

圖5 R=8時的閉環(huán)極點、轉(zhuǎn)矩和速度階躍響應(yīng)圖

通過對仿真結(jié)果分析可知，對于小慣量負(fù)載，采用Case B所示的負(fù)載端口加速度反饋，增加等效的負(fù)載轉(zhuǎn)動慣量，實現(xiàn)慣量的合理匹配;對于中、大慣量負(fù)載，采用Case A和Case C所示的加速度反饋，增效增加電機的轉(zhuǎn)動慣量，達到減小負(fù)載慣量比的目的，使得諧振頻率向反諧振頻率點移動，抑制系統(tǒng)諧振。此外，綜合IP調(diào)節(jié)器設(shè)計，合理配置系統(tǒng)極點，提高系統(tǒng)動態(tài)性能，在抑制系統(tǒng)諧振的前提下提高系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)。

4 結(jié)語

對比研究不同機械端口加速度反饋對柔性系統(tǒng)諧振的影響，加速度反饋等效于改變負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)不同的負(fù)載慣量比采用不同端口的加速度反饋，合理匹配轉(zhuǎn)動慣量，縮小諧振頻率與反諧振頻率的頻帶，達到抑制系統(tǒng)諧振的目的。同時綜合IP調(diào)節(jié)器設(shè)計，合理配置系統(tǒng)極點，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有理想的動態(tài)性能。仿真結(jié)果驗證了本文結(jié)論的有效性，為采用加速度反饋方法抑制柔性系統(tǒng)機械諧振提供了理論指導(dǎo)。

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