基于啟發式教學的數學思想教學設計

王燕榮++韓龍淑++屈俊

數學思想是對數學概念、數學原理及數學方法的本質認識，是數學的靈魂和數學認識價值的體現，是學生形成良好數學認知結構的紐帶，因此數學思想的學習和感悟是中學數學教學的重要內容。《義務教育數學課程標準》（2011年版）首次把數學的基本思想作為四基之一。由于數學思想多數是隱性的，常常蘊含在數學知識的產生、形成和應用過程中，致使數學教學中出現只關注數學知識的學習，而忽視數學知識內部隱含的數學思想的偏差現象，由此彰顯出研究數學思想的教學設計及實施的重要性。

一、從初中幾何教學片段窺數學思想的教學現狀

筆者觀摩了《多邊形的內角和》課題的教學，教師引導學生在回顧三角形內角和的基礎上，研究大家熟悉的四邊形的內角和，并請同學小組合作討論和匯報。有的學生從矩形、正方形的內角和是360°得到四邊形的內角和也為360°。還有以下一些方法：如圖1，連接AC，把四邊形分成兩個三角形，而每一個三角形的內角和等于180°，所以四邊形的內角和等于兩個三角形的內角和。如圖2，在BC邊上任取一點P，連接AP、DP，四邊形的內角和等于三個三角形的內角和減去一個平角。如圖3，在四邊形ABCD內任取一點O，連接AO、BO、CO、DO，四邊形內角和等于四個三角形內角和減去一個周角，等等。教師在肯定學生已有方法基礎上，告訴學生求四邊形的內角和，通常轉化成兩個三角形的內角和，這就是數學中的化歸思想。并提出求任意的五邊形、六邊形的內角和問題，學生通過把多邊形分解成多個三角形，求出了五邊形、六邊形的內角和，師生共同概括出這節課的主要內容：多邊形的內角和為（n-2）·180°。

教師雖然尊重學生思維的差異和發展，但學生的認識停留在“一題多解”的操作層面，教師缺乏組織學生思考“一題多解”背后有什么共性的能力而只是簡單告訴學生化歸思想，忽視引導學生對各種方法本質的提煉，缺乏對化歸思想的感悟和概括過程，使得顯性知識背后隱含的數學思想“蜻蜓點水”，數學思想的顯化提煉膚淺。

二、基于啟發式教學的數學思想教學設計思路

《義務教育數學課程標準》（2011年版）把注重啟發式、實行啟發式教學作為課程的基本理念和實施建議，因此在數學教學中實施啟發式教學顯得尤為必要。啟發式數學教學重在激活學生的數學思維活動，重在啟發學生數學思維的深層參與，揭示數學的本質，強調教師從學生已有的數學知識、經驗和思維水平出發，力求創設“憤悱”的數學教學情境，形成認知和情感的不平衡態勢，從而引導學生學會思考，學生的數學思維得以發生和發展[1]。數學思想方法是對數學知識綜合貫通的理解和升華。學生頭腦中的數學思想一開始不是自發產生的，只有教師有意識地啟發引導，才能使學生形成對數學思想個性化的理解和領悟。

數學思想教學的設計路線圖：

體味是指教師要精通數學、鉆研數學教學內容，感知數學知識隱含的數學思想，把握數學對象的本質特征。提煉是指精心設計教學過程，以啟發式教學思想為指導，不僅關注數學知識的形成過程，更注重對數學思想實質的凸顯。前兩個環節突出強調教師對數學思想認識的重要性。滲透是指在教學過程中多次孕育，積累足夠的感性體驗，讓學生感悟數學思想，教師把握啟發的恰當時機，逐步深入，層層推進。概括是指數學思想方法逐步顯性化，由師生共同概括出數學思想的本質，避免教師的簡單告之。后兩個環節突出強調教學過程中，在教師的啟發引導下，學生主動積極建構數學思想。

三、《探索多邊形的內角和》的教學設計

1.教學任務分析

化歸是重要的數學思想，是化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉的過程。在平面幾何中，要解決一個較為復雜的圖形問題，常常將其分解成基本圖形，并應用基本圖形的有關性質使復雜問題得以解決。“探索多邊形的內角和”課題較好地體現了化歸思想的運用。

本節課是《義務教育課程標準實驗教科書》北師大版八年級上冊第四章第六節“探索多邊形內角和與外角和”的第一課時，是七年級上冊多邊形相關知識的延展和升華，并且在探索過程中又與三角形相聯系，從三角形的內角和到多邊形的內角和環環相扣，前面的知識為后邊的知識做了鋪墊，同時與下一課時多邊形的外角和一脈相承。通過本課題的學習使學生經歷探索、歸納、質疑等活動，積累數學活動經驗，發展合情推理能力，讓學生對發現的結論進行說理和簡單推理，體會數學知識間的內在聯系、感悟化歸思想的實質。

2.教學過程設計

（1）教師設問，引入課題

教師提問：前面我們一起學習了三角形的內角和是180°，在平面圖形中，除了三角形之外，生活中還有哪些常見的圖形呢？

進一步追問：學習數學，我們要學會思考，學會聯系，那大家思考一下，今天我們該學習什么內容？

【設計意圖】教師通過設問，激活學生已有的知識和經驗。運用方法論提示語啟發引導學生認識到需要研究多邊形的內角和，符合學生的認知規律，產生內在的學習需求。

（2）尊重差異，探尋方法

教師提問：研究問題，往往從特殊到一般，研究多邊形的內角和，我們先研究（停頓，等待學生回答四邊形、五邊形等邊數較少的圖形），再研究多邊形。四邊形內角和是多少？

學生小組討論，得出如下思考途徑：

①快速回答360°。從矩形、正方形的內角和等于360°想到的。

②利用三角形的內角和為180°，把四邊形分割成兩個三角形。連接四邊形的一條對角線就可以實現（如圖1）。

③把四邊形分割成若干個三角形的方法多樣化，都可以說明四邊形的內角和為360°（如圖2～圖5）。

④把四邊形分割成一個平行四邊形和三角形，利用平行四邊形的性質和三角形內角和也可以實現（如圖6）。

教師引導：上述圖1～圖6都充分證實了直接猜想四邊形內角和360°是正確的，也就是說利用特殊法可以幫助我們指明解決問題的方向，因此解決問題時可以從特殊的情況出發進行研究，再探討其一般性的結論。對于圖1～圖5的證明思路如何來概括一下？

師生概括：四邊形的內角和轉化成我們已經學過的三角形的內角和。這種思考解決問題的思想在數學中稱之為化歸思想。

【設計意圖】放手讓學生探索解決問題的方法，開拓學生的思維。在整個教學過程中，教師注意引導學生對不同的思考途徑給予合理的分析，尤其要引導學生通過數量關系發現四邊形的內角和是三角形內角和的2倍這一重要特征，由此自然產生把四邊形分割成兩個三角形的思考路線，讓學生體會特殊法在數學問題解決中的優勢。教學過程中，教師循序漸進地引導使學生初步感受化歸思想，積累感性體驗，此時認識處于直觀感知狀態，對圖6方法暫時不做過多的分析說明，為后繼的學習埋下伏筆。

（3）創設情境，形成認知困惑

教師提問：對于五邊形呢？（學生利用已有的知識能夠解決）

教師追問：六邊形、七邊形、八邊形呢？

【設計意圖】創設“憤悱”的問題情境，讓學生體會到雖然所求圖形發生變化，但研究方法是相同的，即把所求的圖形分割成若干個三角形。能否找到一個統一的表達式，既方便又快速地得到任意多邊形的內角和？使學生體驗到學習內角和的必要性，突出該節課的重點內容。

（4）利用啟發性提示語，探求新知

教師提問：如何求n邊形的內角和？學生在前面學習的基礎上，自然想到把n邊形分割成若干個三角形。

教師追問：把n邊形分割成若干個三角形的辦法很正確，那到底如何分割？分割成幾個三角形呢？

學生探求解決問題的途徑如下：

①通過觀察三角形、四邊形、五邊形以及六邊形可以發現n邊形可以分割成（n-2）個三角形，所以n邊形的內角和為（n-2）·180°。

②從n邊形的一個頂點出發，分別與剩余的（n-1）個頂點相連，就有（n-1）條線段，再減去兩條邊所在的線段，也就是被（n-3）條線段分割，形成（n-2）個小三角形。

③從n邊形內部任取一點，分別與n個頂點相連，形成n個小三角形，那么n個小三角形的內角和為n·180°，再減去一個周角，也可以得到n邊形的內角和為（n-2）·180°。

師生概括：分割n邊形的方法與分割四邊形的方法（圖1～圖5）本質上是相同的，最終化歸為熟悉的三角形內角和問題。

【設計意圖】學生自然而然想到把n邊形分割成若干個三角形，讓學生再次體驗化歸思想，逐漸領悟化歸的實質。對n邊形內角和的研究，從具體上升為抽象，思維活動也從直觀感知上升到思辨推理。同時從方法論的意義，引導學生通過觀察、實驗、歸納等科學方法發現數學規律，培養學生認識數學思想和數學方法的價值。

（5）克服負遷移，概括化歸思想

教師引導：我們解決n邊形內角和的過程實質上就是化歸思想的運用。梳理一下自己的思路，思考通過本節課的學習，談談對化歸思想的認識？

學生經過思考后，不難概括出如下認識：

①化歸思想就是把多邊形分割成若干個三角形。

②化歸思想就是把不熟悉的化成我們熟悉的，把不會解決的問題化成會解決的問題。

③化歸思想比較實用，主要問題是如何化歸。

教師追問：化歸思想就是把多邊形分割成若干個三角形的認識合理嗎？

學生討論，形成合理的認識：把多邊形分割成若干個三角形是化歸的途徑之一，但不一定都要分割為三角形，只要是我們熟悉的，已經解決的圖形都可以（如圖6）。

過點A作AP∥CD交BC于P，把四邊形分割成一個三角形和一個平行四邊形，再利用平行線的性質同旁內角互補也可求出。

師生概括：化歸思想的三個要素：未解決的問題（對象）、已解決的問題（目標）、轉化的途徑（方法），關鍵是如何化歸。化歸思想的本質是把不易解決或未解決的問題轉化為易解決或已解決的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題。

教師追問：我們知道條條大路通羅馬，化歸的方法不是唯一的，那研究四邊形和多邊形的內角和時，一定要把圖形分割嗎？（如圖7）

【設計意圖】結合學生對化歸思想的認識，教師抓住時機啟發引導學生進行深入的思考，結合圖6的證明途徑，在互相交流中提升對化歸思想本質的認識，克服思維定勢，完善認知結構。最后師生共同提煉概括化歸思想的實質，使化歸思想明朗化，凸顯數學思想的認識價值。并進一步引申，使學生產生了新的疑難和困惑，引發其課后對化歸思想的深入探索。

學生感悟和把握數學思想，使其轉化為自己頭腦中的數學思想，與數學概念、原理等學習相比有一定的難度，對數學教師提出了更高的要求。教師在選擇教學內容時，不是對教材的復制，而是按“教與學對應”、“教與數學對應”的原理對教材內容進行教學法加工[2]，引導學生體味并提煉數學知識背后蘊含的數學思想，有意識地安排學生從中感悟數學思想的過程。通過多次孕育滲透，并善于利用啟發性提示語，引導學生思維的深層參與，從而領悟數學思想的真諦，凸顯數學思想的認識價值。

參考文獻

[1] 韓龍淑，王新兵.數學啟發式教學的基本特征[J].數學教育學報，2009（6）.

[2] 涂榮豹.新編數學教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2008.

【責任編輯 郭振玲】