淺談等差數列的靈活運用

汪毅剛

等差數列是歷年來高考的重點內容，學生必須充分認知和理解等差數列。這就要求學生不僅理解等差數列的概念，能夠探索并掌握等差數列的通項公式，還能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系并能用有關知識解決相應的問題，還有體會等差數列與一次函數的關系。

一、從等距的角度開展等差數列的教學

根據等差數列的定義：如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列。理解等差數列的關鍵在于理解“從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數”這句話，教學中必須讓學生充分理解后一項與前一項都相差d，即an+1-an=d（常數）。

例如：下面的算式是按某種規律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…問：（1）第1998個算式是（）+（）；（2）第（）個算式的和是2000。

解析：（1）第1個加數依次為1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4個數循環一次，重復出現。1998÷4=499……2，所以第1998個算式的第1個加數是2。第二個加數依次為1，3，5，7，9，11，…，這是個首項為1，公差為2的等差數列。根據等差數列的通項公式可求出第1998個算式的第二個加數：1+（1998-1）×2=3995，所以第1998個算式是2+3995。

（2）由于每個算式的第二個加數是奇數，所以和是2000的算式的第1個加數一定是奇數，不會是2和4。只有1+x=2000或3+x=2000。其中，x是1，3，5，7，9……中的某個數。

若1+x=2000，則x=1999。根據等差數列的項數公式可得：（1999-1）÷2+1=1000，這說明1999是數列1，3，5，7，9…中的第1000個數。因為1000÷4=250，說明第1000個算式的第1個加數是4，與假設1+x=2000矛盾，所以x不等于1999。

若3+x=2000，則x=1997。與上同理，（1997-1）÷2+1=999，說明1997是等差數列1，3，5，7，9…中的第999個數。由于999÷4=249……3，說明第999個算式的第一個加數是3，因此第999個算式為3+1997=2000。

點評：第二個加數為等差數列，那么第n項的值an=首項+（項數-1）×公差，項數=（末項-首項）÷公差+1。利用這些公式，可以快速得到答案，而且還能確保正確率，運用起來十分靈活、方便。

等差數列是一個特殊的函數，因此在解決數列問題時，要靈活利用函數的知識、函數的觀點、函數的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題。

二、從推導通項公式展開等差數列教學

教師在授課時要注重從具體生活實例出發，注重引導、啟發、研究和探討以符合這類學生的心理發展特點，從而促進思維能力的進一步發展。

例如：水庫管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位（單位：m）組成一個什么數列？

教師：以上三個問題中的數蘊涵著三列數。

學生：18，15.5，13，10.5，8，

5.5。

教師：引導學生思考這三列數具有的共同特征，然后讓學生抓住數列的特征，歸納得出等差數列概念。

學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數和后數的差符合一定規律；這些數都是按照一定順序排列的……只要合理教師就要給予肯定。

教師引導歸納出：等差數列的定義；另外，教師引導學生從數學符號角度理解等差數列的定義。

點評：通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性；使學生體會到等差數列的規律和共同特點；一開始抓住“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數”，落實對等差數列概念的準確表達。

三、從一次函數角度理解等差數列的通項公式

從函數的角度來理解等差數列，合理運用數形結合思想直觀簡化問題，在解決等差數列的問題時，能事半功倍。函數思想是重要的數學思想，教師需要在平常教學時逐步滲透，如若在等差數列的教學過程中，對學生進行函數思想的熏陶，能拓展思維，使學生的知識網絡不斷優化與完善，使學生的思維能力不斷發展與提高。

責任編輯 鄒韻文endprint