基于CPFS的“等比數(shù)列求和公式”教學(xué)設(shè)計

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 李東瑞 王天志

喻平教授于2003年提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理CPFS結(jié)構(gòu)理論,該理論主要研究學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò),并引入概念域(concept field)、概念系(concept system)、命題域(proposition field)、命題系(proposition system)四個基本單元來刻畫學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)知識表征[1].CPFS結(jié)構(gòu)理論從學(xué)生學(xué)習(xí)心理和數(shù)學(xué)命題自身特點出發(fā),將學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題的心理過程分為三個階段:命題的獲得、命題的證明、命題的應(yīng)用[2].命題域是一組等價命題組成的體系,命題系是指在學(xué)習(xí)者頭腦中貯存的一組命題,其中一個命題與其他某個或某些命題之間存在推出關(guān)系,這些命題之間就形成了一個關(guān)系網(wǎng)絡(luò).

學(xué)生學(xué)習(xí)新知時,依托于頭腦中已存在的知識經(jīng)驗,將舊知作為橋梁,連接新知與舊知.若學(xué)生不具備完整的命題域和命題系,在解題過程中就難聯(lián)結(jié)到其他與之相關(guān)的命題,從而知識斷層,思維受限,面對變式題就會無從下手.所以在頭腦中形成完備的CPFS結(jié)構(gòu)體系,有助于數(shù)學(xué)知識的貯存和提取以及知識遷移,幫助理解數(shù)學(xué)知識,發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

1 教學(xué)分析

1.1 教材及學(xué)情分析

本文以2019年《普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修二》(人教A版)第四章第三節(jié)“等比數(shù)列的前n項和公式”為例.該部分內(nèi)容對數(shù)列知識起到總結(jié)凝練的作用,讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)思維能力都可以進一步拓展[3].數(shù)列知識涉及很多數(shù)學(xué)符號語言,抽象程度較高,要求學(xué)生能夠敏銳地觀察和思考數(shù)組之間關(guān)系,以及具有較好的邏輯思維能力.通過對數(shù)列知識的學(xué)習(xí),提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)[4].

學(xué)生學(xué)習(xí)該部分內(nèi)容之前,已經(jīng)掌握了等差等比數(shù)列等相關(guān)知識.學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項和時,采用倒序相加的方法求和,理解了公式中關(guān)鍵的四元素:Sn,a1,n,d.類比到等比數(shù)列求和,關(guān)鍵四元素:Sn,a1,n,q,但等比數(shù)列求和復(fù)雜程度相對高于等差數(shù)列求和,尋找合適的求和方法還是具有一定困難,需要引導(dǎo)學(xué)生從從關(guān)鍵的四元素入手,利用等比數(shù)列的性質(zhì)特點,基于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,讓學(xué)生從具體實例的求和過渡到對抽象數(shù)學(xué)符號語言的理解.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

理解公式的形成過程,掌握公式推導(dǎo)過程中所運用到的思想方法;能夠靈活運用等比數(shù)列求和公式解決問題.

1.3 教學(xué)重、難點

教學(xué)重點:掌握等比數(shù)列求和公式,能夠利用等比數(shù)列求和公式解決實際問題.

教學(xué)難點:引導(dǎo)學(xué)生找到證明等比數(shù)列求和公式的方法.

2 教學(xué)過程

2.1 情境引入

問題1某種細菌20 min就通過分裂繁殖一代,那么一個這種細菌從第1次分裂開始,1天(24 h)之后產(chǎn)生的后代總數(shù)是多少?(如圖1所示)

圖1 細菌分裂

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)細胞分裂的情境問題[5],讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并思考項數(shù)較多的等比數(shù)列該如何簡捷求和.

2.2 命題的獲得

針對問題1,先讓學(xué)生求出細菌分裂六次之后的細菌總數(shù).學(xué)生小組合作討論5分鐘,然后請小組代表分享本組討論結(jié)果.

小組1：在紙上列出了細菌每次分裂后產(chǎn)生的后代個數(shù):2,4,8,16,32,64,其解決方法是將六個數(shù)依次加起來.

這種方法對于項數(shù)較少的數(shù)列求和可以采取,但面臨下列問題3時便不知所措.

該小組一直圍繞所求目標(biāo)量S6進行轉(zhuǎn)化,最終求解.

問題2回顧等差數(shù)列求和公式,思考等比數(shù)列求和公式的幾個關(guān)鍵元素會是什么呢?

設(shè)計意圖：從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生由等差數(shù)列求和公式當(dāng)中關(guān)鍵的四元素,類比找到等比數(shù)列求和的關(guān)鍵四元素為Sn,a1,n,q.

問題3當(dāng)細胞分裂n次后,第n次的通項公式是什么?并嘗試求出Sn.

2.3 命題的證明

根據(jù)學(xué)生的作答情況,教師指出其中遺漏或考慮不完全的情況,在黑板上展示完整的證明過程.

證明1：由a2+a3+……+an=qa1+qa2+……+qan-1=q(a1+a2+……+an-1) ,得

Sn-a1=q(Sn-an).

追問1：以上證明出來的公式能否適用于常數(shù)列求前n項和呢?常數(shù)列的前n項和如何求?

總結(jié)：得出等比數(shù)列前n項和公式為

問題4請思考還有其他的證明方法嗎?回顧等差數(shù)列求和時是如何變形的,其推導(dǎo)過程中本質(zhì)是為了得到什么?

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程,利用倒序相加法對兩個等式進行處理,其本質(zhì)就是利用合并同類項、消元的思想[6].

追問2：兩個等式之間經(jīng)過怎樣的運算可以消元呢?如果將兩個等式相減,那么另外一個等式該如何書寫呢?

對于等式Sn=a1+a2+……+an-1+an,根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)情況,適當(dāng)給出思考方向(思考相鄰項的關(guān)系),抓住等比數(shù)列求和的四要素進行思考,得到第二個等式qSn=qa1+qa2+……+qan-1+qan=a2+a3+……+an+an+1,隨即讓同桌之間一起合作,嘗試計算Sn-qSn.(注:以下證明前提為q≠1.)

針對學(xué)生出錯的地方給予及時引導(dǎo),五分鐘后,教師帶領(lǐng)學(xué)生一同在黑板上呈現(xiàn)證明過程.

證明2：設(shè)Sn=a1+a2+……+an-1+an,等式兩邊同時乘q,得qSn=a2+a3+…+an+an+1.

兩式相減,得(1-q)Sn=a1-an+1=a1-a1qn.

一個命題的證明都要以某些已經(jīng)證明為真的命題為基礎(chǔ),證明過程中會與很多命題產(chǎn)生聯(lián)系,運用多種方法證明一個命題,可以幫助完善學(xué)生的命題域和命題系.教師根據(jù)學(xué)生的接受情況,盡量給出多種等比數(shù)列求和公式的證明方法.以下將介紹另外五種證明方法.

證明4：當(dāng)q≠1時,由(1-q)(1+q+q2+……+qn-1)=1-qn,得

證明6：Sn=a1+a2+……+an=a1+q(a1+a2+……+an-1)=a1+qSn-1.

①

由Sn-Sn-1=an,可得

Sn-1=Sn-an=Sn-a1qn-1.

②

將②代入①,得Sn=a1+q(Sn-a1qn-1).

2.4 命題的應(yīng)用

例1某人存入銀行a元,存期為20年,年利率為r,那么按照復(fù)利,20年后他可以獲得本金利息共多少?

設(shè)計意圖：例1貼近現(xiàn)實生活,既可以鞏固學(xué)生對新知的掌握,也能夠讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值[7].

例2已知數(shù)列{an}的首項a1=1,且滿足an+1+an=3·2n.

(1)求證:{an-2n}是等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

教師適當(dāng)給出思路引導(dǎo):根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),要證明數(shù)列{an-2n}是等比數(shù)列,可以轉(zhuǎn)化為證明什么呢?觀察數(shù)列{an}的前n項和Sn的形式,如何變形Sn可以簡化計算呢?

設(shè)計意圖：第(1)問證明{an-2n}為等比數(shù)列考查學(xué)生的數(shù)列構(gòu)造能力和觀察能力,其中涉及轉(zhuǎn)化思想,幫助學(xué)生完善等比數(shù)列的命題域.

例3記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2=2,S3=-6.

(1)求{an}的通項公式;

(2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列．

2.5 課堂總結(jié)及作業(yè)布置

筆者通過提出如下問題,引導(dǎo)學(xué)生回顧本堂課所涉及的知識、思想方法:等比數(shù)列求和公式中的幾個關(guān)鍵元素是什么?等比數(shù)列求和公式的證明過程中采用了哪些數(shù)學(xué)思想方法?錯位相減法在應(yīng)用的過程中需要注意哪幾點?

最后給學(xué)生布置精練且有代表性的課堂作業(yè),讓學(xué)生加深對新知的理解,鞏固學(xué)生對等比數(shù)列求和公式的命題域和命題系的認識.

3 結(jié)束語

本文中主要分為命題的獲得、命題的證明、命題的應(yīng)用三部分,在“等比數(shù)列求和公式”的教學(xué)設(shè)計過程中,更多篇幅放在公式的推導(dǎo)證明上.數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)過程如圖2所示.

圖2 數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)過程

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看,有的命題的證明價值高于它的發(fā)現(xiàn)價值.命題的證明過程是多個命題之間的聯(lián)結(jié),學(xué)生要以已經(jīng)獲得的若干命題為邏輯基礎(chǔ),同時將新命題納入認知結(jié)構(gòu).遵循學(xué)生學(xué)習(xí)命題的心理特征.學(xué)生學(xué)習(xí)知識如同在頭腦中構(gòu)建一張知識網(wǎng),知識網(wǎng)之間的知識節(jié)點都要環(huán)環(huán)相扣.教師在命題教學(xué)過程中,要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理,讓學(xué)生經(jīng)歷命題的形成過程,并對相應(yīng)命題給出變式訓(xùn)練,加強學(xué)生的命題網(wǎng)絡(luò),讓學(xué)生能夠在不同情境中應(yīng)用命題,幫助完善學(xué)生個體的命題域和命題系.