圖解《概率論與數理統計》之教學案例

羅濱霖 王傳美 農蔭隆 黃騰

[摘 要]圖解法教學方法可以將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復雜的問題簡單化，以便于學生學習、理解和掌握。《概率論與數理統計》作為一門集實用性和趣味性于一體的大學數學類課程，其中很多知識點可以應用圖解教學法。歸納《概率論與數理統計》教學中應用的圖解法，對各類圖解法具體總結應用案例，以此拋磚引玉，將圖解法在大學數學教學中的應用向前推進一步。

[關鍵詞]圖解法 概率論與數理統計 教學 案例

[中圖分類號] G642.4[文獻標識碼] A[文章編號] 2095-3437（2015）01-0087-02

用圖形表示知識點能將抽象的問題形象化、寬泛的問題具體化、復雜的問題簡單化，使得學生易于理解和接受。[1]《概率論與數理統計》是大學期間學生所學課程中應用最廣泛、實用性最強的一門數學課[2] [3] [4] [5]，它是很多理工科的公共必修課，也是數學、信息計算、統計等專業的專業必修課。因為該課程側重理論學習，其中的很多原理或知識點若能通過圖形來表示，將增加該課程的趣味性、生動性[3] [4] [5]。教學中可以應用的圖解法大致包括：維恩示意圖、直譯示意圖、歐拉邏輯圖、提綱圖等等。基于多年的教學經驗，現將各種圖解方法在《概率論與數理統計》的應用，一一展現如下。

一、提綱圖一目了然

開篇介紹概率與數理統計的研究內容和研究發展，用提綱形式展示比較形象。

圖1 ? 課程結構與發展

圖2 ? 隨機變量類型

二、維恩圖示意清晰

第一章講隨機事件及概率，其中事件的關系與運算用維恩圖表示比較形象具體，易于學生理解。

圖3表示兩事件的和，事件A∪B={ω│ωA或ωB}={A，B至少有一個發生}。圖4為兩事件包含關系的維恩圖。其他的還有事件的積、差運算，以及事件互逆、互不相容等等的維恩圖表示，不再一一列舉。

圖3 ? 兩事件的和 ? ? ? ? ? ?圖4 ? 兩事件的包含關系

最典型的維恩圖是全概率公式的表示圖。設A1，A2，…，An是兩兩互不相容的事件，P（Ai）>0（i=1，2，…，n），且Ai=Ω，則對于任意事件B，有P（B）=P（Ai）P（B│Ai）。其關系見圖5。

圖5 ? 全概率公式圖解

三、直接示意更加具體

設X是一個隨機變量，對于任意實數x，令F（x）=P（Z≤x）（-∞

圖6 ? 一個隨機變量的分布函數示意圖

圖7 ? 二維隨機變量的分布函數示意圖

設（X，Y）是一二維隨機變量，對于任意實數x，y，令F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}，稱F（x，y）為隨機變量（X，Y）的聯合分布函數。由上圖7可清楚的理解，二維分布函數是表示向XOY面投點，所投點落在（x，y）點左下方的概率。

圖8 ? 置信區間示意圖

圖8為正態或t分布等對稱分布，求參數置信區間的示意圖，可以幫助學生理解置信區間的含義及做法。也適用于對稱分布的參數雙側假設檢驗的示意，落在兩邊小區域即拒絕域。

四、坐標軸圖解法容易解題

圖9 ? 離散型隨機變量分布函數

上圖9為某離散型隨機變量X的分布函數，由分布函數的含義，可知此分段函數的跳躍度為隨機變量取間斷點的概率。由P{x≥1}=0.5，P{x<1}=0.3，可知P{x=1}=0.5-0.3=0.2。

圖10 ? 連續型隨機變量密度函數

上圖10為某連續型隨機變量X的密度函數曲線圖，由密度函數的定義及性質可知，隨機變量X落入區間（x1，x2）的概率為

圖11 ? 正態分布密度函數圖像

圖11做了正態分布不同參數的密度函數曲線，可見σ越大圖形越平緩，呈現尖峰厚尾的特征，而x=μ即圖形對稱軸，決定了圖形的位置。

五、歐拉邏輯圖解法清楚明了

圖12 ? 獨立與不相關的關系圖

由圖12可直接看出，獨立是不相關中的一種更特殊的關系。這是因為不相關是指沒有線性關系，沒有線性關系可以有其他關系，而獨立是指全方位的沒有任何關系。

六、結語

概率論與數理統計是一門非常貼近生活又非常有意思的一門課，在教學中充分利用圖解法進行講解，可以使這門課更生動、形象、具體，更具啟發性。[5]同時，這里介紹的圖解法也可以拓展應用于其他課程的教學中，這需要教師們進一步地研究和探索。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 李衛國.高職數學教學中的線性規劃圖解法運用[J].重慶科技學院學報（社會科學版）2010（5）：188-120.

[2] 黃海平.基于教師專業標準的高師數學課程設計研究與實踐——以數學教育特色專業主干課程_概率統計為例[J].大學教育，2013（6）：87-89.

[3] 楊火根.教學研究型工科院校概率統計課程建設的一些思考[J].大學教育，2012（11）：72-74.

[4] 沈曉婧，周介南.概率論與數理統計課程改革的創新機制[J].高等數學研究，2011 （1）：114-117.

[5] 賀素香.在概率論與數理統計教學中激發學生興趣的若干方法[J].大學教育，2013（3）：58-59.

[責任編輯：林志恒]