馬爾科夫鏈在教學質量評價中的應用

郝長江

【摘要】馬爾科夫鏈是一類特殊的時間離散的隨機過程，其最大的特點就是無后效性，本文建立

了以齊次馬爾科夫鏈為模型的教學質量評價方法，闡明了這種方法的理論依據及其計算程序，為

客觀的評價教師的教學效果提供了可行的操作方法.

【關鍵詞】教學質量評價 馬爾科夫鏈 ；轉移概率矩陣

1.引言

在普通中學教育中，教學效率的比較是教育評估研究的一個重要課題，僅僅根據學生的考試成績來評價教師教學效果的優劣是片面的，不準確的.因為不同的教師所面對的是不同班級的學生，這些學生之間必然存在著知識基礎等各方面的差異，這些差異肯定影響著學生最后考試成績.所以要客觀評價教師的教學效果，必須剔除學生差異這一因素.本文建立了以齊次馬爾科夫鏈為模型的評價方法.

2.基本知識

馬爾科夫鏈分析法是一種以概率論和隨機過程理論為基礎 ，應用基礎數學模型來分析對象發展變化過程中數量關系的一種統計方法.

設 XT = {Xt，t ∈ T = （0，1，2，3，···）}為一隨機過程，其狀態空間 I = {0，1，2，3， ···}，若對任意的正整數k，任意 ti ∈ Ti， ti < ti+1 ， i = 0，1，2，3，···，

k為任意非負整 ，i0 ，i1 ，···，ik+1 有

P{Xtk+1=ik+1|Xt0=i0，Xt1=i1，Xt2=i2，Xtk=ik}=P{Xtk+1=ik+1|Xtk =ik}

則稱Xt為離散時間的馬爾科夫鏈，稱條件概率

Pij（k）（n）=P{Xtk+1=ik+1|Xtk =ik}， i，j∈I

為{Xt，t∈I}n時刻的k步轉移概率，簡記為Pij（n；k），如果有Pij（n；k）=Pij（k），則稱此馬爾科夫鏈為齊次的，特別地當k=1時，有P ij（n；1）=P ij ，稱為一步轉移概率，由一步轉移概率Pij組成的矩陣

p11 p12 ... p1n

p21 p22 ... p2n

P ={Pij， i，j∈I}= ... ... ...

pm1 pm2...P mn

稱為一步轉移概率矩陣.

3.模型的建立

將一個教學班學生的某次考試成績分為五個等級 ，其中 120分以上為優秀， 110 ?119分為良好，100?109分為中等，90?99分為及格，90分以下為不及格，把各等級學生人數與總人數之比作為狀態變量，記為

R（t）={X1（t），X2（t），X3（t），X4（t），X5（t）}∑5i=1

顯然有Xi（t）=1，其中t（t∈I）表示時間，然后根據馬爾科夫過程的無后效性，研究當t變化時，狀態向量的變化規律，從而對教學效率作出評價.設在第一次考試中某班級的 n名學生中，獲得優，良，中，及格，不及格的學生人數分

∑5i=1別為n1，n2，n3，n4，n5，且ni=n，則狀態向量為

R（1）={ }

假設在第一次考試獲得優等成績的 n1名學生中，在第二次考試中獲得優，良，中，及格和不及格的人數分別是 n1j（j =1，2，3，4，5）.于是得到第一次考試成績為優等學生的考試成績的轉移概率矩陣為

同理可得第一次其余各等級的考試成績的轉移概率為

于是得到第一次考試成績轉到第二次考試成績的轉移概率矩陣此系統是一個馬爾科夫鏈，由遍歷性可知

Lim Pij （n）=xj

n→∞

其中 xj與 i無關，且 xj ≥ 0， X（x1，x2，x3，x4，x5） = 0為狀態 R（t）的平穩分布，且滿足X=XP，即

X（E?P）=0

E為單位矩陣，于是，求轉移矩陣P的極限向量X轉化為求P的特征值為1的特征向

量，即由方程（E?P′）X′=0

解出 X =（x1，x2，x3，x4，x5），即為 P的極限向量.若確定優為 120分，良為 110分，中為100分，及格為90分，不及格為80分，則可以通過比較

S=120x1+110x2+100x3+90x4+80x5

的大小來判斷兩個班級教學質量的差別.

4.算法步驟與實例

4.1.算法步驟

（1）列出學生成績轉移情況表；

（2）確定轉移矩陣P；

（3）求出P的極限向量X，即求P的特征值為1的特征向量，其步驟為：

首先求P的轉置矩陣P′；

其次列出特征方程

（E?P′）X′=0

∑5i=1由于特征方程式是線性相關的，故可刪去一個方程并用約束條件

xi=1代表；

最后解出P的極限向量X=（x1，x2，x3，x4，x5）根據最大項原則，可用其中最大的等

級值表示教學工作量.