導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

周江霖

【摘要】導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用很廣泛，本文從經(jīng)濟學(xué)中的邊際定義出發(fā)，探討了導(dǎo)數(shù)這一概念的具體應(yīng)用，使讀者體會微積分在經(jīng)濟中的應(yīng)用價值。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 邊際 邊際分析

考慮經(jīng)濟問題時，成本、價格、利潤、收入等經(jīng)濟量是必須要考慮的因素，一個企業(yè)最關(guān)心的問題是如何把握最佳產(chǎn)量，從而獲利最高，在經(jīng)濟學(xué)中這些問題常用邊際概念進行分析，這些概念都可用導(dǎo)數(shù)進行描述，本文討論導(dǎo)數(shù)在這些經(jīng)濟問題中的應(yīng)用。

一、“邊際”概念

如果一個經(jīng)濟指標(biāo)y是另一個經(jīng)濟指標(biāo)x的函數(shù)y=f（x），那么當(dāng)自變量在x處有一個單位的改動量時，所對應(yīng)的函數(shù)改變量為該函數(shù)所表示的經(jīng)濟指標(biāo)在x處的邊際量。設(shè)x的改變量為 ，經(jīng)濟變量y的改變量為 ，則y的平均變化率是 ，有邊際的概念，在上式中取 或者 就可得到邊際量的表達式。在經(jīng)濟理論研究中，總是用導(dǎo)數(shù) 表示經(jīng)濟變量y的邊際量。

二、邊際成本

廠家生產(chǎn)Q件產(chǎn)品的成本分C（Q）為兩部分，一部分是“固定成本C0”，例如場地、固定設(shè)備、基本人員工資等。一部分是“可變成本C1（Q）”，與生產(chǎn)數(shù)量密切相關(guān)，例如消耗的材質(zhì)、能源、計件工資等，成本函數(shù)為C（Q）= C0+ C1（Q）

例 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為900元，每做Q件產(chǎn)品的可變成本為400Q-Q2元，求成本函數(shù)，并分別計算Q=10，20，30時的平均成本，和邊際成本。

解：平均成本函數(shù)記為 ， 元/件， 元/件， 元/件。可見當(dāng)生產(chǎn)不同數(shù)量產(chǎn)品時，平均成本并不相同。生產(chǎn)10件 產(chǎn)品時的成本是4800元，平均成本是480元。如果再多生產(chǎn)一件，即 ，總成本是多少？很容易計算 元。這時總成本增加量 元，這個成本增量成為“邊際成本”，它既不等于 元/件，又不等于 元/件。此時計算 。 元/件。和前面的結(jié)果很接近。在實際經(jīng)濟量化分析問題中，經(jīng)常將產(chǎn)量為Q時的邊際成本 和此時已花費的平均成本 做比較，由兩者的意義知道，如果邊際成本小于平均成本，則可以再增加產(chǎn)量以降低平均成本，上面例子中， ，說明可以增加產(chǎn)量。反之，如果邊際成本大于平均成本，可以考慮削減產(chǎn)量以降低平均成本；當(dāng)邊際成本等于平均成本時可使產(chǎn)品的平均成本最低。

三、邊際收入和邊際利潤

在經(jīng)濟學(xué)中，類似的可以定義邊際收入和邊際利潤，在價格P水平上銷售Q件商品所得款項稱為“收入”，即 ，邊際收入記為 。利潤函數(shù)為 ，邊際利潤記為 。

例 某企業(yè)生產(chǎn)家用電器，設(shè)成本函數(shù)為 ，需求函數(shù)為 ，求收入函數(shù)和邊際收入，并分別計算 件時的成本、平均成本、收入和邊際收入。

解 ， ， ，知 是唯一駐點， 元是最大利潤。

注意，最大利潤和最大平均利潤不是一回事。本例中，可求出平均利潤的最大值點是 ，平均利潤的最大值為每件產(chǎn)品獲利2.7元；但此時總利潤僅為7168元 元。而 件時，平均利潤為每件 元/件 元/件。在經(jīng)濟學(xué)中還經(jīng)常用到邊際效用、邊際產(chǎn)量、邊際勞動生產(chǎn)率等概率，它和邊際成本、邊際收入、邊際利潤的經(jīng)濟解釋方法大同小異，在此不再累贅。

以上是本人關(guān)于導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟中邊際分析，由此可見導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中應(yīng)用廣泛，通過邊際問題的分析，對于企業(yè)的決策者作出正確的決策起了十分重要的作用！

【參考文獻】

[1]向隆萬 數(shù)學(xué)賞析 上海交通大學(xué)出版社 2012年4月

[2]王蘭林 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用 河南財政稅務(wù)高等專科學(xué)校學(xué)報 2011年12月

[3]謝金云 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)利潤最大化中的運用 湖南學(xué)院學(xué)報 2011年10月