把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變

王濤

我們要想解決一個數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵要把握題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在千變?nèi)f化中找尋到其中不變的量，求出這些不變的量，然后利用這些不變的量解決最終的問題，以不變應(yīng)萬變。下面，本文主要以“牛吃草”問題為例，闡述解決問題時的“以不變應(yīng)萬變”。

一、“牛吃草”問題

牛吃草問題也稱牛頓問題，最早是偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓在《普通算術(shù)》中提出來的。形如：牧場上有一片勻速生長的草地，可供10頭牛吃20天，或者15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？解決這類問題時，難點是草的總量在不斷變化，其中包括草的增加：每天新長的和草的減少：每天被牛吃掉的，而且牛的數(shù)量在變化，每天被吃掉的草的量也有所不同。因此解題的關(guān)鍵是想辦法從變化中找到不變的量，以不變應(yīng)萬變。我們不難發(fā)現(xiàn)，主要有以下這些不變的量：（1）牧場上原有的草的量；（2）每天新長出的草是不變的（勻速生長）；（3）每頭牛每天的吃草量是不變的。求出這些不變的量，以不變應(yīng)萬變，問題就容易解決了。

我們不妨假設(shè)每頭牛每天吃草的量為1份，從而我們可以求出10頭牛吃20天的草量為：10×20=200（份）；15頭牛吃10天的草量為15×10=150（份）。200份草=原有的草+20天新長的草；150份草=原有的草+10天新長的草。兩者都包含原有的草，區(qū)別在于新長的草量，為什么前者會比后者多出200-150=50（份）的草？我們不難發(fā)現(xiàn)，是因為前者比后者多長了20-10=10（天），也就是說多長的10天的草量就是那多出的50份草，從而可以求出每天新長的草量為：（200-150）÷（20-10）=5（份）。最后利用“每天新長的草量為5份”這個不變的量求出最后一個不變的量：原有的草量。可利用10頭牛吃20天的草量為200份求出原有的草量為：200-5×20=100（份）；或者也可用15頭牛吃10天的草量為150份求出原有的草量為：150-5×10=100（份）。至此，所有不變的量都已經(jīng)求出，以這些不變的量應(yīng)對千變?nèi)f化的問題，就容易多了。最后要求可供25頭牛吃幾天，主要有兩種想法：（1）25頭牛吃草每天消耗25份草，同時每天會新增5份草，也就是說每天凈減少25-5=20（份），原有的100份草，100÷20=5（天）就被吃完；（2）由于每天新增5份草，我們可以讓其中的5頭牛專門去吃每天新增的草，自給自足，剩下的25-5=20（頭）牛只能吃原有的100份草，100÷20=5（天）吃完。兩種想法略有不同，但列式相同，其本質(zhì)也一樣。

至此，整道題就解完了。解決這類問題的關(guān)鍵是想辦法從變化中找到不變的量，然后求出這些不變的量，最后利用這些不變的量再求出最終的問題。

二、“牛吃草”問題的運用

在生活中，我們有時也會遇到“牛吃草”問題。比如：火車站的檢票口，在檢票開始前就已有人在排隊，以后每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需要30分鐘，同時開5個檢票口需要20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需要多少分鐘？這類問題是“牛吃草”問題的變形，與“牛吃草”問題的本質(zhì)特征是相同的。我們不妨也先分析一下題意，找出其中的不變量：（1）檢票剛開始的一剎那等候的人數(shù)是不變的，這相當(dāng)于牧場上原來的草；（2）每分鐘新來的人數(shù)是不變的，這相當(dāng)于牧場上每天新長出的草；（3）每個檢票口每分鐘檢票的人數(shù)是不變的，這相當(dāng)于牧場上每頭牛每天的吃草量。在這題中，檢票口相當(dāng)于牛，人相當(dāng)于草，我們先求出以上這些不變量，最后的問題就容易解決了。

我們不妨假設(shè)每個檢票口每分鐘檢票的人數(shù)為1份，從而我們可以求出4個檢票口30分鐘的檢票人數(shù)為：4×30=120（份）；5個檢票口20分鐘的檢票人數(shù)為：5×20=100（份）。120份人=原有的人+30分鐘新來的人；100份人=原有的人+20分鐘新來的人。兩者都包含原有的人，區(qū)別在于新來的人，為什么前者會比后者多出120-100=20（份）的人？我們不難發(fā)現(xiàn)，是因為前者比后者多了30-20=10（分鐘），也就是說多出的20份的人就是10分鐘新來的，從而可以求出每分鐘新來的人為：（120-100）÷（30-20）=2（份）。最后利用“每分鐘新來的人為2份”這個不變的量求出最后一個不變的量：原有的人。可利用4個檢票口30分鐘的檢票人數(shù)為120份求出原有的人為：120-2×30=60（份）；或者也可用5個檢票口20分鐘的檢票人數(shù)為100份求出原有的人為：100-2×20=60（份）。至此，所有不變的量都已經(jīng)求出，以這些不變的量應(yīng)對千變?nèi)f化的問題，就容易多了。最后要求同時打開7個檢票口，需要幾分鐘，主要有兩種想法：（1）7個檢票口每分鐘可檢票7份人，同時每分鐘會新增2份人，也就是說每分鐘凈減少7-2=5（份），原有的60份人，60÷5=12（分鐘）就被檢完；（2）由于每分鐘新增2份人，我們可以讓其中的2個檢票口專門去檢每分鐘新來的人，剩下的7-2=5（個）檢票口只能檢原有的60份人，60÷5=12（分鐘）檢完。

在數(shù)學(xué)解題中，我們只有把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，以不變應(yīng)萬變，才能得心應(yīng)手，處于不敗之地。

編輯 謝尾合