例題教學背后的能力培養

李承華

高中數學人教版A版本必修2第四章，第二節（4.2.1）

例2.已知過點M（-3，-3）的直線ι被圓x2+y2-4x-21=0所截得的弦長為4 ，求直線ι的方程。

分析：此題主要是鞏固點與圓的位置關系的判斷，顯然點M（-3，-3）在圓內，過點M（-3，-3）的弦，有無數多條，過此點的弦定長為4 的弦會有幾條呢？

提示學生利用幾何直觀進行課堂探究，將代數問題幾何化;

圓心（0，-2） 半徑r= =5 ?弦心距d= 直線ι的斜率k是否存在？

若k不存在，則ι的方程為x=-3代入圓的方程得y2+4y-12=0

解得y1=-6或y2=2 此時 得弦長L=8≠4

故過點M（-3，-3）的直線k的斜率存在，設過點M（-3，-3）的斜率為k，則ι的方程y+3=k（x+3），整理得kx-y+3k-3=0

代入點線距公式得

弦心距d= ，d=

r2=（ ）2+d2 即25=50+d2 解得d=

|3k-1|= ?兩邊平方得2k2-3k-2=0

解得k1=- 或k2=2

所以直線ι有兩條，它們的方程分別為y+3=- （x+3）

或y+3=2（x+3）

x+2y+9=0或2x-y+3=0

回代后，兩條直線均滿足條件。

題后想：條件①圓的一般方程，②弦長，③定點（在圓內），求解過定點的直線方程。

以上是在圓中與弦有關的問題，稱為“弦長問題”，通常要培養學生具備以下能力：①知道弦長求直線方程，②知道方程求弦長;

例2是對能力①的訓練.

現舉例對能力②作目標訓練：

圓的方程x2+y2-4x-21=0被直線3x-2y-6=0所截，求弦長.

分析：弦心距d、半弦長、圓的半徑構成直角三角形，利用勾股定理，得r2=（ ）2+d2 ? d= = ? ? ?r=5

代入后解得L=

題后想：條件①圓的一般方程，②直線的一般方程;求解直線在圓上的弦長.

在以上的兩個例題的解答過程中，同樣用到幾何直觀;分別就已知弦長求方程，已知直線和圓的方程求弦長;第一個問題側向代數解決問題，第二個問題側向幾何直觀解決問題，同時都滲透了數形結合思想，看到形要能聯系到方程，看到方程能聯系到幾何圖形;最后在數形結合中解決“弦長問題”。