論向量在立體幾何和平面解析幾何中的應用

劉川鋒

平面向量的運用作為中學數學的重要教學內容之一，具有幾何與代數的雙重性質，向量工具為數學問題的解決提供了新的有效方法與思路。同時向量也是中學數學課堂改革過程中的重要舉措。在解決立體幾何與平面解析幾何問題時運用平面向量法能夠幫助學生更加明晰代數與幾何之間的聯系，培養學生的數學思維。因此，教師應積極轉變傳統幾何法的解題模式，貫徹“數形結合”的數學教學理念，為學生學習論證與度量問題掃清障礙。

向量立體幾何平面解析幾何在數學中，向量即具有方向、大小且遵循平行四邊形法則的量，根據向量方向與大小的不同，可以將其分為固定向量與自由向量。將向量法應用在立體幾何與平面解析幾何的問題中是一種很好的思路與方法，學生通過利用向量代數的方法能夠有效避免思維障礙，將邏輯推理的難度降低，利用坐標運算法及“數形結合”的數學思維提高解題效率。

1向量概述

1.1概念

求向量差：通過將兩個向量的始點重合，將減向量的終點作為始點，將被減向量的終點作為終點，兩點之間的差即兩向量之間的差。

1.3向量與實數的積

向量與實數的乘積仍表示向量，零向量與任何向量及實數的積均為零向量。

1.4向量的坐標運算

向量表示的有向線段的終點坐標與始點坐標的差即向量的坐標，兩個向量的坐標之和則為向量和的坐標，同樣的，兩個向量的坐標之差就為向量差的坐標。

2平面向量法在立體幾何和平面解析幾何中的應用

2.1運用圖形，建立數形結合思維

在解決立體幾何問題的過程中，利用傳統的解題方法，即綜合推理法，由于立體幾何中的角度、距離等問題具有較強的技巧性，需要學生具有極強的邏輯推理思維能力以及抽象的空間想象力，并且此類題目沒有一成不變的規律，從而使得學生智力受到了很大考驗，在思考問題時面臨很大挑戰。這個時候就需要運用數形結合的思維來處理這些問題。

在數學教學和實際應用中，我們都要培養學生的空間想象能力，并將這種能力應用于立體幾何問題解決中去。學生建立好空間概念，畫好正確的立體圖形是解決立體幾何問題的第一步。教師要培養學生的空間概念，可以通過制作幾何課件和幾何模型的方法，讓學生從不同角度近距離觀察并繪圖，從而增強學生對立體空間的理解能力，并提高學生的作圖能力。

利用平面向量法處理中學數學立體幾何問題，是數學中“數形結合”思維的很好體現，平面向量法能夠將立體幾何中的空間問題轉化為代數問題，有效避免了傳統解題過程中添加輔助線等方式，削弱了抽象推理論證帶來的難度，為學生提供了更加便捷、高效的解題方法。在求解立體幾何中平面角的問題時，首先應分析題意判斷所求的角為銳角還是鈍角，然后通過計算取“相等角”或者“補角”。

在高中數學中，平面解析幾何問題主要涉及圓錐曲線相關問題。由于向量具有幾何與代數的雙重性質，能夠將幾何圖形的特征與代數的運算性質同時反映出來，使其成為解決平面解析幾何問題的重要工具，對提高學生的自主學習與探究能力具有很好的作用。平面向量方法中體現出的數學思想與平面解析幾何問題的要求十分符合，向量法作為新教材中的重要改革內容，通過利用坐標將平面向量刻畫出來，以圖形問題代數化的思維進行解題，使得解題方法更具操作性。

2.2轉換思維，增強學生抽象化知識理解能力

思維轉換是學生在學習中常常需要用到的一種學習方法，運用思維轉換，可以幫助學生建立起不同知識之間的聯系，在面對幾何問題時，就可以充分利用這種方法，來提高學生對一些抽象知識的理解。運用向量工具能夠較為容易的將一些復雜的幾何問題轉化，利于學生解題。

在數學平面幾何問題中，點的集合形成圖形，而平面圖形中的點可以通過向量來表示。這樣就可以把平面幾何圖形看作是若干向量的集合，然后利用代數運算法對平面幾何中的圖形位置關系進行度量。通過利用向量工具解決問題可以避免傳統幾何法中大量的邏輯論證過程，使得學生更容易理解抽象化的平面問題，簡便解題過程。

在平面解析幾何的解題過程中應用向量相等關系需注意幾方面問題：在求點的坐標時應注意明確始點、終點；在利用向量坐標方法時通常采取設點而不求解的消除法進行；當存在多個解時應對各個解進行驗證，避免增失根的問題。在高中數學的教學過程中，解析幾何的學習是在教授了平面向量之后開展的，并不是以融合的方式進行的，這使得平面向量與解析幾何的整合程度較低。但實際上向量法對解析幾何問題的解決具有十分高效的作用，能夠幫助學生理清思路，簡潔的解題過程有助于幫助學生樹立學習信心，提高興趣。

3結束語

綜上所述，在高中數學的教學過程中，立體幾何問題與平面解析幾何問題是重難點內容，巧妙利用平面向量法能夠幫助學生提高數學思維能力，拓寬學生的數學知識，為其在解決上述兩類問題提供新的解題方法與思路。同時，平面向量法的引入使得高中課堂數學內容更加豐富，教師應結合中學生的思維特征深入研究平面向量法，并與教學內容恰當結合，在新課改的要求下以簡潔、優化的解題方法提高學生的邏輯思維能力與自主探究能力。

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