關于正交矩陣和正交變換新的引入方法

李滿 朱玉清

【摘要】本文運用實際生活中的例子引入正交矩陣和正交變換的課程內容，這可以有效的提高學生對知識點的興趣，并且較好的學習正交矩陣和正交變換的基本概念和了解這個知識點的應用。

【關鍵詞】正交矩陣 ?正交變換 ?向量組

【中圖分類號】TP391.41 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）11-0108-01

1.引言

正交變換是歐氏空間中的一種重要的變換，是保持內積及長度不變的線性變換，因而不會改變曲線或曲面的形狀。正交變換不僅在高等代數(shù)、數(shù)學分析及其它數(shù)學分支中起著獨到的作用，而且在自動化技術、計算機技術、物理等領域都有十分廣泛的應用。

2.正交矩陣和正交變換

理解正交矩陣和正交變換概念，會判斷一個矩陣是否為正交矩陣，了解正交變換的分類。

定義1：如果n階方陣A滿足AAT=E，則稱是A正交矩陣，也可簡稱為正交陣。由AA-1=E，即AT=A-1。

定理：A為正交矩陣的充分必要條件為A的列（行）向量組為正交單位向量組。

這個定理主要用來判斷一個矩陣是否為正交矩陣，例如判斷下面兩個矩陣是否是正交矩陣。

例：（1）A=-1 0 ?00 ? 1 ?00 ? 0 ?1 ? ? ? （2）A=cosθ ?-sinθ ?0sinθ ? cosθ ? 00 ? ? ? 0 ? ? ?1

解：（1）把A按列分塊A=（a1，a2，a3），由于每個向量是單位向量，且任意兩向量正交，a1，a2，a3為正交單位向量組，即A為正交矩陣。 同樣的可得（2）也是正交矩陣。

性質：如果A，B為正交矩陣，AT也是正交矩陣，A-1=AT也是正交矩陣;AB也是正交矩陣;|A|=1，|A|=-1。

即，例（1）中|A|=-1 ?0 ?00 ? ?1 ?00 ? ?0 ?1=-1，例（2）中|A|=cosθ ?-sinθ ? 0sinθ ? ?cosθ ? 0 0 ? ? ? ?0 ? ? 1=1。

定義2：如果線性變換的系數(shù)矩陣為正交矩陣，則稱y=Px這個變換為正交變換。

3.新的引入方法

如y=Px為正交變換，對其中一個向量y1求長度

||y1||======||x||，對其中兩個向量y1，y2求內積。

[y1，y2]=yT1y2=（Px1）T（Px2）=xT1PTPx2=xT1（PTP）x2=xT1x2=[x1，x2]

因此，正交變換不改變向量的長度和內積，即不改變圖形的幾何形狀。這是正交變換的優(yōu)良特性。

3.1小貓照鏡子

運用小貓照鏡子的圖片（圖1），在圖片中以脖子中的鈴鐺為原點做出空間直角坐標系（圖2）。鏡子中小貓的影像相當于與小貓之間存在如下的線性變換x'y'z'=-1 ?0 ? 0 ?0 ?1 ? 0 ?0 ?0 ? 1xyz。

圖1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖2

由第2節(jié)中的例子可知，這個線性變換x'y'z'=-1 ?0 ? 0 ?0 ?1 ? 0 ?0 ?0 ? 1xyz系數(shù)矩陣A為正交矩陣，則這個變換為正交變換。又因為|A|=-1 ?0 ?0 0 ? 1 ?0 0 ? 0 ?1=-1，這個線性變換也稱為反射變換。

3.2 美女旋轉圖

運用美女旋轉的動態(tài)圖片（圖3），做出空間直角坐標系（圖4），轉動的圖片相當于在xoy面上旋轉一個角度θ，令x=rcosαy=rsinαz=z，則x'=rcos（α+θ）=xcosθ-ysinθy'=rsin（α+θ）=xsinθ+ycosθz'=z，即旋轉相當于做線性變換x'y'z'=cosθ ?-sinθ ?0sinθ ? cosθ ? 00 ? ? ? 0 ? ? ?1xyz。

圖3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖4

同樣的，美女旋轉圖的線性變換x'y'z'=cosθ ?-sinθ ?0sinθ ? cosθ ? 00 ? ? ? 0 ? ? ?1xyz也是正交變換，因為|A|=cosθ ?-sinθ ? 0sinθ ? ?cosθ ? 0 0 ? ? ? ?0 ? ? 1=1，這個線性變換也稱為旋轉變換。

通過這兩個有趣的引例，采用啟發(fā)式教學法，運用動畫、視頻和多媒體相結合的教學手段，引入正交矩陣和正交變換的基本概念。使得學生在學習新知識的同時，形象的理解了這個知識點在實際生活中的應用。

4.小結

由這兩張圖片可以發(fā)現(xiàn)正交變換不改變向量的長度和內積，即不改變圖形的幾何形狀。由于正交變換的這個優(yōu)良特性，反射變換和旋轉變換經常被應用于工程中。

參考文獻：

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[2]趙興杰. 高等代數(shù)教學研究[M] . 重慶： 西南師范大學出版社， 2007.

[3]朱玉清. 線性代數(shù)[M] . 北京： 科學出版社， 2012.

[4]紀永強. 三維內積空間中正交變換的特征向量的幾何意義[J]. 湖州師范學院學報vol.36， 2014.

作者簡介：

李滿（1982.11.25-），女，河南人，漢族，碩士研究生，南陽理工學院數(shù)理學院，助教，應用數(shù)學、系統(tǒng)控制。