歐拉的“砝碼問題”

蔣明玉

在歷史上，論勤奮與對數學的貢獻，很難有哪位數學家能夠與歐拉相比，

歐拉往往能從被人們忽視的現象中提出有創新意義的數學問題，開辟數學科學中新的領域。

如天平的砝碼是用天平稱物的重要工具，那么準備怎樣的一組砝碼，在只允許將其放在天平的一端的情況下，可以保證稱出砝碼總克數以內的所有整克數的物品呢？

下面是歐拉研究過的“天平砝碼最優（少）化配置問題”，同學們能獨立試著做一做，并得出規律嗎？讓我們一起來試一試，

問題1：工人師傅用質量為15g的一個鐵塊制成4個質量不等的整克數的砝碼，用這一組砝碼，在只允許將其放在天平的一端的情況下，可以稱出質量為15g以內的所有整克數的物品，這一組砝碼分別是幾克？

思考：可以從稱1g的物品開始分析，完成表1，

從而得到結論：稱質量為15g以內所有整克數的物品，只要準備質量為1g，2g，4g，8g這4個砝碼，

如果到此為止，僅解決這一個問題，那么，就不算具有愛思考的好習慣了，讓我們來分析這一組砝碼，可以有下面幾點發現：

1.這一組砝碼的克數是一組有規律的數：1，2，2²，2³，

2，它們的和正好比這組數的下一項少1，即它們的和為：2⁴-1，

根據上面的發現，可以得到以下假設：

若有質量為1g，2g，2²g，2³g，…，2ⁿg的砝碼，只允許將其放在天平的一端，利用它們可以稱出質量小于2ⁿ⁺¹g的任何整克數的物體，

請你舉例驗證一下，

如果同學們再一起來解決下面的問題，會有新的發現的，

問題2：有一個質量為40g的砝碼，現在把它加工成4個質量是不等整克數的砝碼，允許將其放在天平的兩端，可以用它們稱質量為1g至40g之間的任意整克數的物體，這4個砝碼的質量分別是多少？

思考：可以參考前面的研究過程來進行實驗，具體步驟如下：

1.制表，2.填表，3.得到結果，4.研究結果，5.發現規律，6.進行驗證，

不難發現，這4個砝碼的質量分別是1g，3g，9g，27g稱出質量為2g的物體，把質量為1g的砝碼放在左邊，質量為3g的砝碼放在右邊，利用3-1=2就可以了，質量為4g的物體可利用3+1=4稱出質量為5g的物體可利用9-4=5稱出，其他類似，

通過上面的6個步驟，相信你也能得到最后的規律：若有質量為1g，3g，3²g，3³g，…，3ⁿg的砝碼，允許將其放在天平的兩端，利用它們可以稱出質量不超過（3ⁿ⁺¹）/2g的任何整克數的物體，

責任編輯：胡云志