線性空間的概念教學

孫曉青

【摘要】高等代數是數學專業的一門重要的基礎課，也是各高校的考研必考科目之一。本文根據該課程和當前學生的特點，以線性空間為代表，探討了高等代數概念教學的模式，目的是使學生能夠靈活運用所學概念去分析問題和解決問題。

【關鍵詞】高等代數 ?線性空間 ?概念 ?教學

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）11-0117-02

數學教學實踐表明，概念教學在整個數學教學中具有重要的基礎地位。數學概念教學要做到數學概念的邏輯形式與形成過程的思維過程相統一，本質就是數學的內容與思想方法的統一。因此如何講深講通基本概念，使學生能深刻理解、牢固掌握這些基本概念，這是講授這門課程應該花力氣考慮的主要問題。

1.引入概念

概念引入的主要目的是通過引入這種教學方法引導學生更好的理解和掌握新概念。“引”的事物可以是實際生活中存在的，可以是本門課程前面學習的內容，也可以是其他已有的知識，總之，引的事物可以是多角度的、多方面的，它只是用于理解新概念的工具?！叭搿敝傅氖乔懊嬉氖挛锱c新概念的聯系，由此相關性才能成功的得到新概念。引入的過程從具體到抽象，從簡單到復雜，學生在已有知識的基礎上能清楚的理解新概念的存在性。下面來看線性空間中兩個概念的引入：

（1）線性空間的定義是通過兩個例子來引出的，例1是在解析幾何中學過的三維空間，例2是為了解線性方程組討論過的n維向量空間，雖然它們考慮的對象不同，但是它們有一個共同點，那就是都有加法和數乘運算，隨著對象不同，這兩種運算的定義自然也不同，為了抓住它們的共同點，把它們統一起來研究，就是這章要學習的線性空間。

（2）在引入線性空間子空間的定義時，仍然以學生熟悉的三維幾何空間為例，在學習線性空間是已經知道過原點的平面是一個一維線性空間，也就是說，它一方面是三維幾何空間的一部分，同時它對于原來的運算也構成一個線性空間，我們稱它為原來線性空間的一個子空間。

2.概況概念

（1）線性空間的定義較長，學生不好理解和記憶，因此我們將其拆分成“2+8”去理解和記憶，“2”指加法和數乘運算滿足封閉性，“8”指8條運算律。此處需要強調的是運算的封閉性，這里常常被學生忽略。下面再舉些例子加以說明，如引例中提到的n維向量空間，以及數域P上的m×n階矩陣的全體、數域P上的一元多項式環等，再加幾個反例，正反比較讓學生更進一步掌握此概念。

（2）線性空間的子空間的定義，從字面理解為線性空間的子集也是一個線性空間，也就是說，設W是V的一個非空子集，若W對V中的加法和數乘運算也滿足封閉性及8條運算律，則W也是一個線性空間。原本這就是子空間的定義，然而通過進一步驗證，8條運算律可以由兩運算的封閉性推導得到，因此子空間的定義只需要求非空子集滿足運算的封閉性即可。

3.分析解剖概念，揭示概念的關系

（1）在講解線性空間的維數與基的概念時，已經看到線性空間里的線性組合、線性相關性、等價的定義與第三章向量空間學習的定義都類似，由此發現線性空間的維數與基同向量空間的極大無關組與秩的概念類同，學生可以聯系以前學過的知識去理解。

（2）同一個線性空間的兩組不同的基之間用過渡矩陣聯系起來。線性空間的基不止一個，同一個向量在不同基下坐標一般是不同的，這就是說，一個向量的坐標是依賴于基選擇的，即向量關于不同基的坐標之間關系依賴于過渡矩陣。過渡矩陣是我們研究線性空間的一個重要工具，第七章線性變換的學習也會用此概念。將抽象的線性空間同具體的矩陣聯系起來，使學生更好的去理解、掌握。

4.強化概念的運用

（1）計算子空間的維數與基，常見的題型有，求一組向量α1，…，αs的生成子空間L（α1，…，αs）的維數與基，學習了生成子空間的性質后，求它的維數與基的問題就轉化成了求向量組α1，…，αs的秩與極大無關組的問題，這是我們熟知的算法。另外還有，求齊次線性方程組解空間的維數與基就是去求解此方程組，維數等于未知數的個數減去系數矩陣的秩，一個基礎解系就構成了解空間的一組基。我們看到新的概念與很多已有的知識是有緊密聯系的，這就需要我們在掌握舊的知識的基礎上聯系新的知識。

（2）線性空間的同構給出了兩個線性空間的關系，由同構的概念得到了有限維線性空間的一個劃分，維數相同的組成一類，也就是說，維數是有限維線性空間的唯一的本質特征。例如，每一個數域P上n維線性空間都與n元數組成的空間Pn同構，而同構的線性空間有相同的性質，由此可知，以前得到的關于Pn的一些結論，在一般的n維線性空間中也是成立的，而不必要一一重新證明。我們看到，利用同構的概念，找到了不同線性空間之間的聯系，從而可以借助我們熟知的、簡單的空間來了解一些復雜空間的性質。

總而言之，以上介紹的線性空間的概念教學只是整個高等代數中一個局部的體現，在高等代數的整個教學過程中概念教學都占有極其重要的地位?；诟叩却鷶当旧淼奶攸c，在教學過程中注意運用具體實例來幫助學生理解概念，降低學生理解的難度，激發學習的主動性，同時有意識地幫助學生對所學概念及時分類整理，建立概念之間的聯系，達到對所學的概念形成一個有機的整體，從而最終靈活運用所學概念去分析問題和解決問題。

參考文獻：

[1]陳惠勇.數學史觀下的數學概念教學新模式[J]. 高等數學研究.2007.