洞察學(xué)生思維狀況，提升數(shù)學(xué)思考能力

黃榮楣

【摘要】數(shù)學(xué)思考是2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的四大目標(biāo)之一，其在促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展中的重要作用已經(jīng)被廣大教師所重視。因此，我們要深入了解學(xué)生的思維狀況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考中存在的問題，對(duì)癥下藥，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的方法，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平。

【關(guān)鍵詞】思維狀況 數(shù)學(xué)思考 分析推理能力 自我取舍能力 自主建構(gòu)能力

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）12-0111-02

數(shù)學(xué)思考是2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的四大目標(biāo)之一，其在促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展中的重要作用已經(jīng)被廣大教師所重視。但在實(shí)際教學(xué)中，我們?nèi)匀荒馨l(fā)現(xiàn)學(xué)生淺層思考、被動(dòng)思考等現(xiàn)象——正如著名教育家肖川先生所指出，如今的課堂“想一想”多了，而真正獨(dú)立、深刻、富有創(chuàng)造的“思考”卻較少。面對(duì)這種現(xiàn)象，部分教師卻缺乏關(guān)注及應(yīng)對(duì)之策。因此，在教學(xué)時(shí)，我們要深入了解學(xué)生的思維狀況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考中存在的問題，對(duì)癥下藥，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的方法，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考水平。

一、透視“做對(duì)”背后的問題——解決思維的盲點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生分析推理能力

小學(xué)生面對(duì)新的數(shù)學(xué)問題時(shí)，目標(biāo)往往就是解決問題，“做對(duì)”即可，不關(guān)注過程和方法是他們常見的心理特點(diǎn)。作為教師不僅要關(guān)注學(xué)生解決問題的結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生解決問題過程中是否深入思考分析，有效地培養(yǎng)學(xué)生分析推理的能力。

1.質(zhì)疑變式，將學(xué)生淺層的思考引向深入

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《解決問題的策略——轉(zhuǎn)化》的綜合復(fù)習(xí)中，有這樣一道題：比較圖中兩個(gè)陰影部分面積。如圖：■。備課時(shí)，我預(yù)計(jì)這道題會(huì)是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。可在檢查作業(yè)中，發(fā)現(xiàn)同學(xué)幾乎都做對(duì)了。倍感欣慰之余，特意請(qǐng)一位學(xué)習(xí)程度中等的學(xué)生說說怎么想的，他為難了半天說道：“老師，我是用尺子量出長(zhǎng)和寬，算出來的。”而這種方法居然是班上大多數(shù)孩子的方法。多么出乎意料的答案，雖然能解決問題，但與提高數(shù)學(xué)思考能力的目標(biāo)卻相差甚遠(yuǎn)。于是，我先肯定了這位學(xué)生的做法，隨即指出：“剛才量的結(jié)果只針對(duì)這幅圖，如果將這個(gè)圖形隨意拉長(zhǎng)，變短，結(jié)果陰影部分是不是還是一樣呢？”說完，我利用課件將圖形分別拉扁、拉高。突如其來的質(zhì)疑，促使大家開始反思這種方法的局限性。通過幾分鐘的獨(dú)立思考和相互交流，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：因?yàn)殚L(zhǎng)方形的對(duì)角線，把長(zhǎng)方形平分了，外邊的大三角形一樣大，里邊兩組小三角形也一樣大，相減剩下的部分自然一樣。無論怎么變化，只要里邊的結(jié)構(gòu)不變，結(jié)果都一樣。在上述的教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生最初的測(cè)量只是停留在淺層的直觀判斷，他們的思考依賴于數(shù)據(jù)的直接計(jì)算，而沒有真正觸及問題的本質(zhì)。而此時(shí)學(xué)生們自己并末意識(shí)到這個(gè)思維盲點(diǎn)。正是因?yàn)槔蠋煹挠行ё穯枴①|(zhì)疑，才使學(xué)生深入思考，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將直觀的判斷和嚴(yán)密的推理相結(jié)合，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)真正得以提高。

2.類比歸納，將學(xué)生單一的思考有效提升

教學(xué)中，常常出現(xiàn)如：“圓的半徑擴(kuò)大2倍，則周長(zhǎng)擴(kuò)大2倍，面積擴(kuò)大4倍”等此類知識(shí)點(diǎn)改編的選擇題、判斷題或填空題，有部分的學(xué)生往往用舉出一個(gè)例子的方法，直接填寫答案，而且在作業(yè)、考試中屢試不爽，正確率高，學(xué)生也因此而沾沾自喜，認(rèn)為找到了解決問題的捷徑。隨著學(xué)生認(rèn)知水平的逐步提升，如果學(xué)生始終滿足于停留在低層面的單一舉例，將大大阻礙學(xué)生思維能力的提升；同時(shí)隨著計(jì)算的難度加大，問題的復(fù)雜化（如探究圓錐的半徑和高的變化，體積如何變化等問題），舉例的方法也會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)不容易計(jì)算，因此正確率下降等諸多局限。此時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)根據(jù)學(xué)生的思維水平，給學(xué)生充裕的時(shí)間，讓喜歡舉例的學(xué)生多舉出一些例子。通過一系列豐富的數(shù)學(xué)素材的觀察比較、分析異同，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律；最后，在規(guī)律的應(yīng)用體會(huì)規(guī)律的普適性。這樣學(xué)生學(xué)習(xí)到的不是單一的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是獨(dú)立探究后的數(shù)學(xué)規(guī)律。學(xué)習(xí)后，引導(dǎo)學(xué)生在反思中領(lǐng)悟到：通常在單一的例子中，產(chǎn)生了初步的判斷后，我們不能就此滿足，更應(yīng)該對(duì)這一結(jié)論進(jìn)行分析、演繹、論證，逐步學(xué)會(huì)利用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卦忈屪约喊l(fā)現(xiàn)的結(jié)論。

二、尋找“被學(xué)習(xí)”的原因——調(diào)整教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生自我取舍的能力

1.激發(fā)興趣，喚起學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)需求

教學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“轉(zhuǎn)化的策略”一課時(shí)，有道習(xí)題：“小明看書，已經(jīng)看了全書的3/7，還有48頁沒看完，小明已經(jīng)看了幾頁？”這類問題學(xué)生已經(jīng)會(huì)用分?jǐn)?shù)的方法解決。問題一旦解決，思維的惰性就隨之而來。此時(shí)教師如果直接引導(dǎo)學(xué)生思考：將條件“已經(jīng)看了全書的3/7”轉(zhuǎn)化成“已看的是未看的3/4”，再思考一種新的方法：7-4=3，48×3/4=36。這樣的學(xué)習(xí)，于無形中學(xué)生被老師強(qiáng)迫學(xué)習(xí)了。都說“興趣是最好的老師”，此時(shí)教師不妨激一激學(xué)生：這樣的題目你不是會(huì)了嗎？那好咱們來現(xiàn)場(chǎng)比賽，看誰快？學(xué)生發(fā)現(xiàn)老師最快。老師到底用了什么方法呢？在這學(xué)習(xí)的“憤”“悱”狀態(tài)，老師引導(dǎo)學(xué)生觀察題中條件，想想會(huì)有什么新方法呢？學(xué)生的學(xué)習(xí)目的從“解決問題”，轉(zhuǎn)向了“解決此問題有什么好方法”上，方向明確，熱情高漲。此時(shí)，老師再引導(dǎo)學(xué)生抓住問題“小明已經(jīng)看了幾頁？”利用已看完、未看完和全書頁數(shù)之間關(guān)系，把條件轉(zhuǎn)化成“已看的頁數(shù)就是未看的3/4，問題即求48頁的3/4是多少？”問題解決后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思對(duì)比，總結(jié)轉(zhuǎn)化方法與其他方法的異同，體會(huì)該方法的優(yōu)越性及轉(zhuǎn)化時(shí)的注意點(diǎn)。這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生的探究需求強(qiáng)烈，方向明確，自主性強(qiáng)，自然印象深刻，有利于在今后解決問題中舉一反三。

2.學(xué)會(huì)等待，留給學(xué)生選擇和感悟的機(jī)會(huì)

“被學(xué)習(xí)”不僅來自老師，也常常來自反應(yīng)快、成績(jī)好的孩子。尤其是在方法多樣化的時(shí)候，好孩子越說越有勁，舉一反三，觸類旁通。可苦了那些一知半解的孩子，本來還有點(diǎn)理解，結(jié)果越說越亂。教學(xué)是為了每個(gè)孩子的發(fā)展，而不僅僅是一節(jié)課堂教學(xué)的完整、成功。此時(shí)，即便有時(shí)出現(xiàn)一些低思維層次的方法，如果學(xué)生無法當(dāng)場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化，教師不能放任自流也不能急于求成，而需要給學(xué)生不斷體驗(yàn)與感悟的機(jī)會(huì)。

例如：蘇教版教材第十冊(cè)有這樣一道習(xí)題：有三種書原來各有120本，現(xiàn)在《動(dòng)物王國》還剩1/4，《植物世界》還剩下1/3，《地球故事》還剩2/5。哪種書賣出的本數(shù)最多？練習(xí)后匯報(bào)時(shí)，出現(xiàn)兩種典型的解法：①直接比較每種書剩下的幾分之幾的大小，得出哪種書剩下的本數(shù)最少，再推想出這種書賣出的本數(shù)最多。②先算120÷4=30（本）120÷3=40（本）120÷5×2=48（本），再做比較。一般來說，第一種方法比較高效、簡(jiǎn)約、成熟。但在選擇“你最喜歡的方法”時(shí)，出乎意料的是，在大部分學(xué)生選擇方法1的時(shí)候，還有小部分學(xué)生在再三猶豫后選擇了第二種，覺得后者好算。經(jīng)過老師的仔細(xì)詢問，了解到：原來，本題的120恰好是3、4、5的公倍數(shù)，幫助學(xué)生省略了通分時(shí)求公分母麻煩。對(duì)于部分學(xué)困生而言，比較1/3和1/4時(shí)，同分子分?jǐn)?shù)的比較大小還未曾熟練；三個(gè)數(shù)通分，公分母又比較難找；把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，計(jì)算相對(duì)繁瑣。再加上此題還要逆向思考，剩下的越多，則賣出的越少。這么多思維活動(dòng)讓他們頗感吃力。所以看似幼稚、不成熟的解法二成了他們的最佳選擇。此時(shí)，教師不要急于求成，而應(yīng)留待學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)探究。如果相關(guān)的知識(shí)基礎(chǔ)一一掌握并熟練化了，這時(shí)優(yōu)化方法真正成為學(xué)生的一種內(nèi)在需要，就會(huì)收到水到渠成的效果。因此，老師在教學(xué)時(shí)，不急于面面俱到，要給學(xué)生選擇和感悟的機(jī)會(huì)。對(duì)于個(gè)體而言，別人的方法再好，如果不是學(xué)生自己主動(dòng)建構(gòu)的結(jié)果，沒有觸及學(xué)生的思維和情感領(lǐng)域，對(duì)學(xué)生的發(fā)展能起的作用都不大。

三、彈性對(duì)待“難處”——把握學(xué)習(xí)起點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生自主建構(gòu)的能力

1.溝通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，突破學(xué)習(xí)中的負(fù)遷移

小學(xué)生在思考問題時(shí)，有時(shí)容易受到已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響產(chǎn)生負(fù)遷移，而在學(xué)習(xí)中又無法實(shí)現(xiàn)自我突破。此時(shí)就需要教師精心設(shè)計(jì)，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，比較異同，巧妙地幫助學(xué)生理解新知。例如：一位老師在教學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)》一課，設(shè)計(jì)了以下教學(xué)環(huán)節(jié)：①復(fù)習(xí)舊知：用分?jǐn)?shù)表示圖中的涂色部分：■。當(dāng)學(xué)生能準(zhǔn)確說出用1/3后，教師變動(dòng)其中的陰影部分的位置，讓學(xué)生再次說出分?jǐn)?shù)。②變化圖形：出示■，通過引導(dǎo)，使學(xué)生清晰、順利形成“把幾個(gè)物體看做一個(gè)整體”的概念■，并意識(shí)到把“一些物體看成一個(gè)整體”和“一個(gè)物體”一樣，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。……③出現(xiàn)矛盾沖突：當(dāng)解決完■每份是整體的1/4后，教師出示了■。現(xiàn)在涂色部分是整體的幾分之一呢？題目從原先的“一份就是一個(gè)”變成“一份有兩個(gè)”該怎么思考呢？學(xué)生的答案很多樣： 1/8（最多）、2/8、1/4；學(xué)生的想法也有些混亂：a.一份分子就是1，總數(shù)是8，所以分母為8，得出1/8；b.平均分4份，分母依然是4，但分子由1個(gè)變2個(gè)了，就是2/4……由于在前面的教學(xué)中，老師已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確理解并表述：“把一個(gè)整體平均分成4份，每份就是它的1/4”，所以當(dāng)產(chǎn)生各種新答案時(shí)，教師并不急于糾正，而是引導(dǎo)學(xué)生利用前面的知識(shí)來分析：把8個(gè)看成一個(gè)整體，平均分成4份，分母就是4；表示其中的一份，分子就是1。比較兩題題目有什么不同，在方法上呢？在對(duì)比反思中，學(xué)生悟出：原來不論總數(shù)幾個(gè)，平均分幾份分母就是幾；不論每份是幾個(gè)，取幾份分子就是幾。教師引導(dǎo)學(xué)生舉出幾個(gè)類似的例子，完善新知，清晰建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，把握分?jǐn)?shù)意義的本質(zhì)。

2.適時(shí)提升，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)有邏輯起點(diǎn)和現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)。教材多是從學(xué)生的邏輯起點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行編寫。但教材所認(rèn)為的“難”，有時(shí)并非是學(xué)生真正存在的“難點(diǎn)”。因此，教師還要讀懂學(xué)生：對(duì)于每節(jié)課的知識(shí)，學(xué)生已經(jīng)知道了什么？什么地方學(xué)生誤解了還不自知？還有哪些困惑？最想知道什么，哪些是有能力研究，哪些需要教師扶持幫助？對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)，當(dāng)下可以做哪些訓(xùn)練……這樣，教學(xué)時(shí)才能以教材為載體，卻不囿于教材，真正為學(xué)生發(fā)展服務(wù)。例如：蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)有這樣的習(xí)題：找出每組數(shù)的最小公倍數(shù)

8和2 3和9 5和7 8和3

5和10 4和8 9和10 1和5

你發(fā)現(xiàn)什么？和大家交流。（教參中明確指出不要求學(xué)生對(duì)此題中的規(guī)律做進(jìn)一步的抽象）教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)：左邊的四組最小公倍數(shù)都是較大的數(shù)，右邊的最小公倍數(shù)都是它們的乘積。但若就此而止，學(xué)生的思維并沒有真正得到發(fā)展，體現(xiàn)不了規(guī)律的價(jià)值性，反而導(dǎo)致學(xué)生亂用規(guī)律的現(xiàn)象。此時(shí)，學(xué)生最想知道的規(guī)律是：什么情況下，最小公倍數(shù)都是較大的數(shù)？什么情況下最小公倍數(shù)都是它們的乘積？因此，發(fā)現(xiàn)結(jié)論后，老師讓學(xué)生模仿舉例，通過大量的例子驗(yàn)證，學(xué)生總結(jié)得出：兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。右邊相對(duì)復(fù)雜，也分類說了一些情況：相鄰的兩個(gè)自然數(shù)；1和任何數(shù)；兩個(gè)素?cái)?shù)；一個(gè)素?cái)?shù)，另一個(gè)不是它的倍數(shù)；相鄰兩個(gè)奇數(shù)……學(xué)生在觀察、猜想、舉例驗(yàn)證中，激烈碰撞，不斷完善自我發(fā)現(xiàn)。思維活躍者創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)，不足者通過傾聽、質(zhì)疑、領(lǐng)悟，個(gè)個(gè)都顯得十分興奮。最后應(yīng)用自己的發(fā)現(xiàn)完成練習(xí)，明確什么情況下具體用什么方法，使知識(shí)結(jié)構(gòu)得以完善。最后在學(xué)習(xí)到最大公因數(shù)這一知識(shí)時(shí)，簡(jiǎn)化為“兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，則它們的最小公倍數(shù)是它們的乘積。”這條規(guī)律本身具有可探究性，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)也有著舉足輕重的作用，雖然教參不要求抽象，但多數(shù)學(xué)生有能力研究、有興趣研究、對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)又有必要研究，此時(shí)教師能及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究，無論是對(duì)學(xué)生知識(shí)的完善，還是思維的提升都不無裨益。

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的提升是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。作為教師一定要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生的思維狀況，敏銳地洞察存在的問題，科學(xué)引導(dǎo)，使學(xué)生的思維得到持續(xù)地發(fā)展和深化。