淺議中考數(shù)學(xué)規(guī)律探索型問題的解決策略

王小強(qiáng)

利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決規(guī)律探索型問題是初中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的一個(gè)重要目標(biāo). 而中考規(guī)律探索題主要考查學(xué)生的觀察、聯(lián)想、實(shí)驗(yàn)、推理和總結(jié)應(yīng)用能力，此類問題具有一定的數(shù)學(xué)思想，在題型、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上有較大的創(chuàng)新，知識(shí)交叉應(yīng)用層面也更具有思維性，對(duì)初中生而言既能有效考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探索、研究、歸納的能力，又能有利于學(xué)生的自主探索、創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng). 下面我就此類問題以近年中考題為例做一探討.

一、計(jì)算規(guī)律

此類題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題.

例1 （2012山東濱州）求1 + 2 + 22 + 23 + … + 22012的值，可令S = 1 + 2 + 22 + 23 + … + 22012，則2S = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22013，因此2S - S = 22013 - 1.仿照以上推理，計(jì)算出1 + 5 + 52 + 53 + … + 52012的值為 （ ）.

A. 52012 - 1 B. 52013 - 1 C. D.

解析 設(shè)S = 1 + 5 + 52 + 53 + … + 52012，則5S = 5 + 52 + 53 + 54 + … + 52013，因此，5S - S = 52013 - 1，S = .

答案 選C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查同底數(shù)冪的乘法，以及類比、推理的能力，兩式同時(shí)乘以底數(shù)，再相減可得S的值.

二、數(shù)列規(guī)律

此類題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.

例2 （2012湖北恩施）觀察下表：

根據(jù)表中數(shù)的排列規(guī)律，B + D = .

解析 B所在行的規(guī)律是每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)數(shù)字的和，所以A = 3，B = 8；D所在行的規(guī)律是關(guān)于數(shù)字20左右對(duì)稱，即D = 15，所以B + D = 23.

答案 23.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生觀察和歸納能力，此類問題隨著觀察角度的不同可有不同的規(guī)律尋求途徑，但最終結(jié)果應(yīng)“殊途同歸”.

三、圖形規(guī)律

此類題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，要注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合.

例3 （2013資陽(yáng)）從所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)填入問號(hào)所在位置，使之呈現(xiàn)相同的特征 （ ）.

A. B. C. D.

解析 根據(jù)圖形的對(duì)稱性找到規(guī)律解答.

答案 第一個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，第二個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，第三個(gè)圖形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，第四個(gè)圖形是中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱，所以第五個(gè)圖形應(yīng)該是軸對(duì)稱但不是中心對(duì)稱，故選C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)地觀察圖形并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

四、動(dòng)態(tài)規(guī)律

此類題是探求圖形在運(yùn)動(dòng)變換過程中的變化規(guī)律，解答此類問題時(shí)，要將圖形每一次的變化與前一次變化進(jìn)行比較，明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

例4 （2014德州）如圖，拋物線y = x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A1，A2，A3，…，An，….將拋物線y = x2沿直線L：y = x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線頂點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn，…都在直線L：y = x上；② 拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1，A2，A3，…，An，….則頂點(diǎn)M2014的坐標(biāo)為（4027，4027 ）.

解析 根據(jù)拋物線y = x2與拋物線yn = （x - an）2 + an相交于An，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案.

解 M1（a1，a1）是拋物線y1 = （x - a1）2 + a1的頂點(diǎn)，拋物線y = x2與拋物線y1 = （x - a1）2 + a1相交于A1，得x2 = （x - a1）2 + a1，即2a1x = a12 + a1，x = （a1 + 1）.

∵ x為整數(shù)點(diǎn)，∴ a1 = 1.

M1（1，1），M2（a2，a2）是拋物線y2=（x - a2）2 + a2 = x2 - 2a2x + a22 + a2頂點(diǎn)，拋物線y = x2與y2相交于A2，x2 = x2 - 2a2x + a22 + a2，∴ 2a2x = a22 + a2，x = （a2 + 1）.

∵ x為整數(shù)點(diǎn)，∴ a2 = 3，M2（3，3），M3（a3，a3）是拋物線y2 = （x - a3）2 + a3 = x2 - 2a3x + a32 + a3頂點(diǎn)，拋物線y = x2與y3相交于A3，x2 = x2 - 2a3x + a32 + a3，∴ 2a3x = a32 + a3，x = （a3 + 1）.

∵ x為整數(shù)點(diǎn)，

∴ a3 = 5，M3（5，5），所以M2014，2014 × 2 - 1 = 4027.

答案 （4027，4027）.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)拋物線y = x2與拋物線yn = （x - an）2 + an相交于An，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案.

規(guī)律探索型問題一直以來是中考熱點(diǎn)，涉及面較廣，以上只是我對(duì)此類問題的一點(diǎn)拙見，僅供大家探討.