平行線

董學(xué)戰(zhàn)

【摘要】 平行線在轉(zhuǎn)化“比值”的過(guò)程中，具有強(qiáng)大的功能，某些圖形添加“平行線”后，會(huì)給命題注入無(wú)限生機(jī)，讓孤立的條件和結(jié)論活力四射，利用“橋梁”順利牽手.

【關(guān)鍵詞】 輔助線；平行線；比值；橋梁

滬科版九年級(jí)《數(shù)學(xué)》（上冊(cè)）第70頁(yè)有個(gè)很重要的推論：“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.”同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)后，一定會(huì)對(duì)平行線的作用有所了解，但是對(duì)它在比例式中的橋梁作用還有待探究，下面我們談一下平行線在比值轉(zhuǎn)化中的強(qiáng)大功能：

例1 如圖，在△ABC中，D，E分別在AB，BC上，且 = 1， = ，AE，CD交于點(diǎn)G，求的值.

分析 本題條件中的“比值，”與結(jié)論中的“比值”無(wú)直接的聯(lián)系，于是我們可利用課本中的這個(gè)推論，作平行線架起二者之間的橋梁解決問(wèn)題.

解法（一） 過(guò)E作EM∥AB交CD于M，在△CBD中，∵EM∥BD，∴ = . ∵ = 1，∴ AD = BD，即 = .又∵ = ，∴ = .因此， = .在△ADG中，∵ EM∥AD，∴ = . ∴ = .可知 = .

反思1 由于本題中的兩“比值”之間無(wú)直接聯(lián)系，因此決定了所作平行線：EN∥AB，至少應(yīng)使用兩次，才能通過(guò)平行線的橋梁作用把“比值”連接起來(lái).

解法（二） 過(guò)E作EN∥CD交AB于N，在△BCD中，EN∥CD，∴ = . ∵ = ，∴ = ，

可知 = ，即 = . ∵ = 1，∴ AD = BD，可得： = . 在△ANE中，

DG∥EN，∴ = .

∴ = ，即 = .

反思2：平行線的橋梁作用體現(xiàn)在由已知比值延伸到所求比值的過(guò)程，為使這一過(guò)程簡(jiǎn)單化，所作的平行線應(yīng)能把已知的某個(gè)比值直接轉(zhuǎn)化，順利找到橋梁的支撐點(diǎn). 在上述的解法（一）（二）中，我們都過(guò)E點(diǎn)作平行線，考慮的是首先把 = 直接轉(zhuǎn)化成 = 或者 = .當(dāng)然，本題也可以過(guò)D點(diǎn)作平行線，首先把 = 1直接轉(zhuǎn)化，如圖（1）（2），相信同學(xué)們可以獨(dú)立完成.

例2 如圖，在△ABC中，AD是∠A的平分線，求證： = .

解：過(guò)D作DE∥AC交AB于E點(diǎn)，在△ABC中，利用DE∥BC可得 = . ∵DE∥AC，∴∠CAD = ∠EDA. 由于AD是∠BAC的平分線，所以∠BAD = ∠CAD，即∠BAD = ∠EDA. 所以EA = ED. 可見(jiàn)， = . 又因?yàn)镈E∥AC，所以 = ，可得 = .

反思3 本題結(jié)論“ = ”中的兩個(gè)比值相對(duì)孤立，我們做題時(shí)應(yīng)想方設(shè)法把二者聯(lián)系起來(lái)，為此所作的輔助線“DE∥AC”真正的像一座橋梁，利用已有的條件讓與 順利牽手，題中平行線的橋梁作用體現(xiàn)得淋漓盡致.

由于平行線的橋梁作用適用范圍廣泛，因此做題方法絕不止一種，下面請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)圖（3）（4）（5）中所作的輔助線（平行線）獨(dú)立完成.

平行線在比例式中的的橋梁作用小結(jié)：

1. 題中出現(xiàn)的若干比值（比例式）相對(duì)孤立，條件中無(wú)平行線（相似三角形），或者有平行線（相似三角形）時(shí)，但通過(guò)性質(zhì)得出的比例式對(duì)于解題沒(méi)有太大的幫助，才有作平行線來(lái)架起橋梁的必要.

2. 從題目中的某個(gè)比值入手，使所作的平行線能直接把該比值轉(zhuǎn)化，找到橋梁的“支撐點(diǎn)”.

3. 由于相關(guān)比值之間無(wú)直接聯(lián)系，因此所作平行線必須至少用兩次，分別連接不同的比值和“支撐點(diǎn)”.