一類應用題的思路與解法

高廣河 謝愛菊

【摘要】 《數學課程標準》指出：“數學教學，應從學生已有的知識經驗出發，讓學生親身經歷參與特定的教學活動，獲得一些體驗. ”應用題教學就是數學教學中培養學生解決日常生活和生產中簡單實際問題能力的重要途徑，對培養學生理解數學知識的思維能力和良好的思維品質等多方面都具有重要意義，是各級各類考試的必考題型之一.

【關鍵詞】 應用題；思路；解法

應用題的解決方法很多，歸類解決是一種比較好的方法，我們這里主要總結工程問題的解決辦法. 工程問題的基本量有：工作總量、工作效率、工作時間. （1）一般公式：工作效率 × 工作時間 = 工作總量；工作總量÷工作時間 = 工作效率；工作總量÷工作效率 = 工作時間. （2）用假設工作總量為“1”的方法解工程問題的公式：工作效率 = 1 ÷ 工作時間；工作時間 = 1 ÷ 工作效率. （3）常見的相等關系有兩種：①如果以工作量作相等關系，部分工作量之和 = 總工作量；②如果以時間作相等關系，完成同一工作的時間差 = 多用的時間.

工程問題主要表現為兩個工程隊在“修路筑橋、開挖河渠”等工作中的時間安排.

例1 加工某種工件，甲單獨工作要20天完成，乙只要10天就能完成任務，現在要求二人在12天內完成任務. 問乙需工作幾天后甲再繼續單獨加工才可正好按期完成任務？

講評：將全部任務的工作量看作整體1，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設乙需工作x 天，則甲再繼續加工（12 - x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依題意有 + = 1，∴ x = 8.

從數學的內容來看，水管問題與工程問題是一樣的.水池的注水或排水相當于一項工程，注水量或排水量就是工作量.單位時間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了.因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同.

例2 一水池裝有甲、乙、丙三個水管，甲、乙是進水管，丙是排水管，甲單獨開需10小時注滿一池水，乙單獨開需6小時注滿一池水，丙單獨開15小時放完一池水. 現在三管齊開，需多少時間注滿水池？

講評：由題設可知，甲、乙、丙工作效率分別為，，-（進水管工作效率看作正數，排水管效率則記為負數），設x小時可注滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，，-，三水管完成整體工作量為1，依題意有 + - =1，∴ x = 5.

所列方程為分式方程時，檢驗時要分兩個方面，一是檢驗所求的解是否是原方程的解，二是檢驗是否符合題意.

例3 一件工作，如果甲單獨做，那么甲按規定時間可提前2天完成，乙則要超過規定時間3天才完成. 現在甲乙二人合作兩天后，剩下的乙單獨做，剛好在規定日期內完成. 若甲乙二人合作，完成工作需多長時間？

講評：設規定時間為x天，則甲單獨要（x - 2）天，乙單獨要（x + 3）天，甲一共做了2天，乙一共做了x天， 依題意有2 × + = 1，∴ x = 12. 經檢驗x = 12是原方程的解，并符合題意. 所以規定要12天完成.

1 ÷ + = 1 ÷ = 6天. ∴兩人合作完成要6天.

有的情況下，工程問題并不表現為兩個工程隊在“修路筑橋、開挖河渠”，甚至會表現為“行程問題”“經濟價格問題”等等，工程問題不僅指一種題型，更是一種解題方法.

例4 兩列火車同時從甲、乙兩地同時相對開出.慢車行完全程需要20小時，快車行完全程需要10小時.開出后8小時兩車相遇.已知快車中途停留1小時，慢車中途停留了幾小時？

講評：該題一看是行程問題，但沒有具體的路程，可以用工程問題來解題. 把總路程看成整體1. 慢車的工作效率為，快車的工作效率為，設慢車停留了x小時. 依題意有 + = 1，∴ x = 2.

例5 一項工程甲乙兩公司合作12天可以完成，共需要付施工費102000元，如果甲乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元. （1）甲、乙兩公司單獨完成此項工程各需多少天？ （2）若讓一個公司單獨完成此項工程哪個公司施工費較少？

講評： （1）設甲公司單獨完成此項工程需x天，則乙公司單獨完成此項工程需1.5x天.根據題意，得 + = ，解得x = 20. 經檢驗x = 20是原方程的解，并符合題意. 5x = 30. 甲公司單獨做用20天，乙用30天. （2）設甲公司每天的施工費為y元，則乙公司每天的施工費為（y - 1500）元. 根據題意，得12（y + y - 1500） = 102000，解得y = 5000. 甲公司單獨完成此項工程所需的施工費：20 × 5000 = 100000（元），乙公司單獨完成此項工程所需的施工費：30 × （5000 - 1500） = 105000（元）；100000元 < 105000元，故甲公司的施工費較少. 總之，題目中只出現時間量時，可以看成工程問題，解決工程問題，把整個工程當作單位1，以時間的倒數作為工效是解決問題的關鍵.