數學教學中發散性思維培養的幾條途徑

毛永星

【摘要】 發散性思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息從不同的角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式，對于提高學生的學習興趣和提高學生的探索能力有很大作用. 因此，在初中數學課堂教學中，教師有意識從課堂教學的細節入手，針對學生進行發散性思維訓練，既可以提高學生的數學思維能力，又可以提高數學教學有效性. 本文結合初中數學課堂教學實際，對在課堂教學中開展發散性思維訓練的途徑進行探討.

【關鍵詞】 課堂教學；發散性思維；途徑

中學數學教學的主要任務，一方面要傳授數學知識，使學生具備數學基礎知識的素養；另一方面，要培養學生數學思維能力，提高學生的數學能力. 長期以來，中學數學教學以集中思維為主要的思維方式，教材上的題目和素材的呈現過程大都是這種模式，學生習慣于用常規的思路和方法解決問題，這對于數學興趣的激發、數學能力的發展是不夠的. 發散性思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息從不同的角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式，對于提高學生的學習興趣和提高學生的探索能力有很大作用. 因此，在初中數學課堂教學中，教師有意識從課堂教學的過程入手，針對學生進行發散性思維訓練，既可以提高學生的數學思維能力，又可以提高數學教學有效性. 本文結合初中數學課堂教學實際，對在課堂教學過程中如何開展發散性思維訓練的途徑進行探討.

一、善用聯想培養發散性思維

聯想是指由一種事物想到另一種事物的心理過程. 我們應根據已有的知識和經驗，從不同角度、沿不同方向尋求解決的辦法，訓練發散思維的變通性. 學生的知識儲備、信息量越豐富，聯想力就越強，思路就越廣闊，發散思維就更具有流暢性、靈活性和獨特性. 沒有思維的靈活性，也就沒有發散性思維可言. 因此，要培養學生的發散思維能力，就要培養聯想能力，訓練思維變通能力. 如在九年級下冊《相似三角形》的判定這一章節的教學中，重視比例性質和線段的分拆訓練是非常重要的.

例1 已知，如圖在△ABC中，∠B = 2∠C，求證：AC2 = AB2 + AB·BC.

分析 本題的證法不能一眼看出，但在結論變形后，即為AC·AC = AB（AB + BC） = 的比例式，可聯想兩個三角形的對應邊之比，故需出現（AB + BC）線段，想到延長AB至E，使BE = BC，連結EC，這樣就是AE = AB + BE = AB + BC了. 從而構成三角形△AEC，只需證明△ACE∽△ABC即可. 由此可見，如果沒有一定的相似三角形知識，解題經驗和作圖技能，這里一次又一次的推理是難以進行的. 因此，在學生的學習中，要注重基礎知識的領會與掌握，注意知識間的聯系與區別. 只有基礎扎實了，才能做到融會貫通，舉一反三，提高思維的靈活性，從而達到對學生發散思維能力的培養.

二、巧用求異培養發散性思維

發散思維能力的形成，需要以樂于求異的心理傾向作為一種重要的內驅力. 教師要善于選擇具體題例，創設問題情境，精心誘導學生的求異意識. 對于學生在思維過程中時不時出現的求異因素要及時予以肯定和熱情表揚，使學生真切體驗到自己求異成果的價值. 對于學生欲尋異解而不能時，教師則要細心點撥，潛心誘導，幫助他們獲得成功，使學生漸漸生成自覺的求異意識，并日漸發展為穩定的心理傾向. 在面臨具體問題時，就會能動地作出“還有另解嗎？”，“再從另一個角度分析一下”的求異思考. 在課堂教學過程中，充分利用學生樂于求異的心理傾向，是培養的發散性思維能力的重要手段.

例2 已知點B在直線AC上，AB = 8 cm，AC = 19 cm，P，Q分別是AB，AC的中點，求PQ的長度.

（一般的學生看完題目之后立刻就可以畫出如圖2所示的平面圖形來進行如下的求解：）

解析 依據題意，可以畫出圖2，再由線段的性質可以求出PQ的長度

∵ AB = 8 cm，AC = 19 cm

P、Q分別是AB、AC的中點，∴ AQ = QC = AC = 9 cm，AP = PB = AB = 4 cm，∴ PQ = AQ - AP = 9 - 4 = 5 cm

即求出PQ的長為5 cm.

解完到這里，很多學生都很高興自己將此道題目完成了，但是對一部分善于思考，善于求異的學生不難發現其還有另外一種情況存在（即點B不在線段AC上），這樣又可以畫出另外一種平面圖形來求解PQ的長度.

解析過程如下：

解 依據題意，可以畫出圖2，再由線段的性質可以求出PQ的長度

∵ AB = 8 cm，AC = 19 cm

P、Q分別是AB、AC的中點，∴ AQ = QC = AC = 9 cm

AP = PB = AB = 4 cm，∴ PQ = AQ + AP = 9 + 4 = 13 cm

即求出PQ的長為13 cm.

可見，學生在求異心理傾向驅使下，那些相關的基礎知識、解題經驗會處于特別活躍的狀態，對題中數量作出各種不同形式的重組，逐步形成發散思維能力. 因此，在數學教學過程中，教師要抓住時機引導學生突破模式，擺脫框架思路的束縛，從不同角度靈活出題. 學生對所給的條件從不同角度分析、構想和重組，實現了思維的發散，學生的思路開闊了，分析問題，解決問題，探求新知識的能力逐步培養起來，創新的意識也油然而生.

三、多種角度培養發散思維

培養學生能善于沿著不同角度、順著不同方向、選擇不同方法，對同一問題從多方位、多層次、多側面認識. 在教學中，我們應自始至終、持之以恒地引導學生不拘泥于狹隘的解題思路，突破單一的思維模式，誘導他們轉換角度多方思考，探索多種解題方法從而培養學生思維的發散性.

例3 如圖4，已知等邊三角形ABC的邊長為6，點D，E分別在邊AB，AC上，且AD = AE = 2.若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度沿射線BC方向運動，設點F運動的時間為t秒.當t > 0時，直線FD與過點A且平行于BC的直線相交于點G，GE的延長線與BC的延長線相交于點H，AB與GH相交于點O.

（1）設△EGA的面積為S，寫出S與t的函數關系式；

（2）當t為何值時，AB⊥GH；

（3）請你證明△GFH的面積為定值；

（4）當t為何值時，點F和點C是線段BH的三等分點.

分析：此題綜合性比較強，運用了函數的知識、平行線的性質、線的位置關系、三角形面積、線段的性質等知識的動點問題.

解析 （1）如圖5，∵GA∥BC，∴ = ，又∵ AB = 6，AD = 2，∴ DB = 4，由于BF = t，∴ = ，∴ AG = t.

過點E作EK⊥AG，垂足為K.

∵∠BCA = 60°，∴ ∠CAK = 60°，∴ ∠AEK = 30°，

∵ AE = 2，∴ AK = 1，∴ EK = .

∴ S = AG·EK= × t × = t.

（2）如圖5，連接DE，由AD = AE可知，△ADE為等邊三角形.

若AB⊥HE，則AO = OD，∠AEO，∵GA∥DE，∴∠AGE = ∠GED，∴∠AGE = ∠AEG，∴ AG = AE = 2，∴ t = 2，t = 4.即當t = 4時，AB⊥GH.

（3）法一：

∵ GA∥BC，∴ = ，由合比性質得 = .

∵ DE∥BC，∴ = ， = ，∴ FH = BC.

∵ △ABC與△GFH的高相等，∴ S△GFH = S△ABC = × 6 × 3 = 9.

∴不論t為何值，△GFH的面積均為9.

法二：∵ △GAD∽△FBD，∴ = = .

∵△GAE∽△HCE，∴ = = ，∴ BF = CH.

當點F與點C重合時，BC = FH，

當點F在BC邊上時，BC = BF + FC = CH + FC = FH，

當點F在BC的延長線上時，BC = BF - FC = CH - FC = FH，∴ BC = FH.

∴ S△GFH = S△ABC = × 6 × 3 = 9.

∴不論t為何值，△GFH的面積均為9.

一題多解是啟發學生思維的重要手段，它從不同的角度去尋找解決問題的各種可能途徑和思維空間，探求不同的解答方案，從而拓廣思路，使思維向多方向發展，培養思維的發散性.

例 4 如圖6，以△ABC的個邊向BC同側作等邊△ABD，△BCF，△ACE，求證：四邊形AEFD是平行四邊形.

在引導學生解決了問題之后，為培養學生的發散性思維，如果繼續為學生設計如下的探究性問題：“（1）當△ABC滿足_時，四邊形AEFD是菱形，請說明理由. （2）當∠BAC = _度時，四邊形AEFD是矩形，請說明理由. （3）當∠BAC =_度時，以A，E，F，D為頂點的四邊形不存在，請說明理由”；這樣，不僅可以培養學生的探索精神，還使他們的思維變得更加活躍發散. 學習的過程是發現問題、提出問題、解決問題的過程. 因此，教師在同一個問題上多問或引導學生問一些問題（最好要有梯度，而不是類似問題的簡單堆砌），久而久之，學生在潛移默化中慢慢地學會舉一反三，觸類旁通了，從而真正達到培養發散思維能力的目的.

四、歸納推理培養發散性思維

歸納推理是指由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征，或者由個別事實概栝出一般結論，（簡稱歸納）部分推出整體，個別推出一般的重要的數學推理方法. 在課堂教學中注重歸納推理，對于培養學生的發散性思維能力是必不可少的重要過程.

例5 在一次聚會中，共有6人參加，如果每兩個人我一次手，共握幾次手呢？如果n個人又握幾次手呢？

分析 通過現實握手實驗可以將6個人的握手次數找出來，但是n個人的握手次數就不是想象中的那么容易，而且在學習了線段性質的基礎上，如果將本題研究握手次數問題轉化成研究直線上的點構成線段的條數問題，這里把每個人看作一個點，這樣就可以很容易求出答案. 為了解決問題，我們設計下列圖表進行探究：

解 根據表中的信息，通過探究推理可得到問題的答案

6個人握手次數為：15次.

n個人握手次數為：（n - 1） + （n - 2） + （n - 3） + … + 4 + 3 + 2 + 1 =

綜上所述，作為數學教師應重視初中數學課堂教學的過程，充分利用一切課堂教學資源，從教學細節入手，注重培養學生發散性思維能力，提高課堂教學的有效性，為學生今后進一步學好數學知識，直至成為創新性人才奠定堅實的基礎.

【參考文獻】

[1]李勃.探索式教育中的制約因素，北京教育出版社，2001.

[2]高文.《現代教學的模式化研究》，山東教育出版社1998年10月版.

[3]曾錚，孔凡哲.數學學習心理學 北京大學出版社 2009年三月版.