初中學生數學解題錯誤淺析

高紅霞

從小學到初中，知識本身對學生的要求大幅提高，但學生個體之間在智力發展與學習方法上存在著差異，因而學生在學習過程中，難免會出現種種錯誤. 因此，對錯誤進行系統的分析是非常重要的：首先教師可以通過錯誤來發現學生的不足，從而采取相應的補救措施；其次，錯誤從一個特定的角度揭示了學生掌握知識的過程中出現的問題；最后，錯誤對于學生來說也是不可或缺的，是學生在學習過程中對所學知識不斷嘗試的暫時性結果. 本文擬對初中學生數學解題錯誤作粗淺分析.

一、正視學生解題的錯誤

在初中數學教學中，教師害怕學生出現解題錯誤，對錯誤采取嚴厲禁止的態度是司空見慣的. 在這種懼怕心理支配下，教師只注重教給學生正確的結論，忽視揭示知識形成的過程，害怕因啟發學生進行討論會得出錯誤的結論. 長此以往，學生雖片面接受了正確的知識，但對錯誤的出現缺乏心理準備，看不出錯誤或看出錯誤但改不對，甚而弄不清錯誤的緣由. 持這種態度的教師只關心學生用對知識而忽視學生會用知識. 例如，在講有理數運算時，由于只注重得出正確的結果，強調運算法則、運算順序，而對運用運算律簡化運算注意不夠，但后者對發展學生運算能力卻更為重要. 總之，這種對待錯誤的態度會對教學帶來一些消極的影響.

事實上，錯誤是正確的先導，成功的開始. 有道是失敗是成功之母. 學生所犯錯誤及其對錯誤的認識，是學生獲得和鞏固知識的重要途徑.

基于上述原因，教師對待錯誤的懼怕心理和嚴厲態度轉變為承受心理和寬容態度是十分有意義的. 因為數學學習實際上是不斷地提出假設，修正假設，使學生對數學的認知水平不斷復雜化，甚而趨于成熟. 從這個意義上說，錯誤不過是學生在數學學習過程中所做的某種嘗試，它只能反映學生在數學學習的某個階段的水平，而不能代表其最終的實際水平. 此外，正是由于這些假設的不斷提出與修正，才使學生的能力不斷提高. 因此，揭示錯誤是為了盡量減少錯誤，我們所說的承受與寬容也是相對于這一過程而言的. 在教學中給學生展示的這一嘗試、修正的過程，是與學生獨立解題的過程相吻合的. 因而學生在教師教學過程中學到的不僅僅是正確的結論，而且領略了探索、嘗試的過程，這對學生知識的完善和能力的提高會產生有益的影響，使學生學會分析，自己發現錯誤，改正錯誤. 教師只有具備這樣的承受心理與寬容態度，才會耐心尋找學生解題錯誤的原因，并做出適當的處理.

二、初中學生解題錯誤的原因

學生能順利正確地解題，表明其在觀察、分析問題，提取、運用相應知識的環節上沒有受到干擾或者說克服了干擾. 在上述環節上不能排除干擾，就會出現解題錯誤. 就初中學生解題錯誤而言，造成錯誤的干擾來自以下三方面：一是小學數學的干擾，二是初中數學前后知識的干擾，三是用功的方式不正確.

（一）小學數學的干擾

在初中一開始，學生學習小學數學形成的某些認識會妨礙他們學習代數初步知識，使其產生解題錯誤. 例如，在小學數學中，解題結果常常是一個確定的數. 受此影響，學生在解答下述問題時出現混亂與錯誤. 原題是這樣的：

禮堂第一排有a個座位，后面每排都比前1排多1個座位，第2排有幾個座位？第3排呢？設m為第n排的座位數，那么m是多少？求a = 20，n = 19時，m的值. 學生在解答上述問題時，受結果是確定的數的影響，把用n表示m與求m的值混為一談，暴露出其思考過程受到上述干擾的痕跡.

又有，在小學減法運算中被減數比減數大的認識根深蒂固，記得在初一上學期的一次摸底測試中，有這么一道題：2 + 2 - 3，部分學生一看到“2 - 3”這一部分，就說這道題無法完成，殊不知還有運算順序的問題.

總之，初中開始階段，學生解題錯誤的原因常可追溯到小學數學知識對其新學知識的影響. 講清新學知識的意義（如用字母表示數）、范圍（正數、0、負數）、方法（代數和、代數方法） 與舊有知識（具體數字、非負數、加減運算、算術方法）的不同，有助于克服干擾，減少錯誤.

（二）初中數學前后知識的干擾

隨著初中知識的展開，初中數學知識本身也會前后相互干擾.

例如，在學有理數的減法時，教師反復強調減去一個數等于加上它的相反數，因而3 - 7中7前 面的符號“-”是減號給學生留下了深刻的印象. 緊接著學習代數和，又要強調把3 - 7看成正 3與負7之和，“-”又成了負號. 學生不禁產生到底要把“-”看成減號還是負號的困惑. 這 個困惑不能很好地消除，學生就會產生運算錯誤.

又如，了解不等式的解集以及運用不等式基本性質3是不等式教學的一個難點，學生常常 在 這里犯錯誤，其原因就是受等式的性質2以及方程的解是一個數的干擾 . 事實也證明，把不等式的有關內容與等式及方程的相應內容加以比較，使學生理解兩者的異同，有助于學生學好不等式的內容. 可見對比教學法對學生錯誤的形成，前后知識的干擾有一定的影響作用.

學生在解決簡單問題與綜合問題時的表現也可以說明這個問題. 學生在解答簡單問題時，需要提取、運用的知識少，因而受到知識間的干擾小，產生錯誤的可能性小；而遇到綜合問題 ，在知識的選取、運用上受到的干擾大，容易出錯.

總之，這種知識的前后干擾，常常使學生在學習新知識時出現困惑，在解題時選錯或用錯知識，導致錯誤的發生.

（三）用功的方式不正確

（1）很多同學都不愿意多打草稿多畫圖

舉個例子，每名同學在解題的時候，都會先讀一遍題目，然后根據題目的要求來解題. 但是，不少同學在讀了“一遍”題目之后，就急于下手，結果苦思冥想半天，都無法得出答案. 這個時候，我通常會建議同學們再讀幾遍題目，尤其是幾何題、綜合題. 因為題目給了很多已知條件，這些已知條件都是用文字跟數學符號來表達的，在我們大腦中很難一下子轉化成自己的語言. 這時候如果我們再讀幾遍，把所有已知條件都以自己的方式充分地理解透，然后自己畫個圖，如果已經有圖，就將這些條件標注到圖上. 由于人的大腦在短時間之內記憶的東西是有限的，如同電腦CPU，所以，我們應該盡量將大腦的功能用在計算和推理上，而不要讓它承擔記憶的任務，將這些需要記憶的條件和推理得出的結論都交給草稿紙和圖表，大腦自然能夠更輕松地去對付題目的問題了.

（2）有的同學在解題的時候自信心不足，不敢下手

其實很多人在最初接觸一些難題的時候都沒有思路，包括數學老師在內. 但是在如何對待這個思路盲區上，有經驗的老師和不自信的同學就截然不同了. 很多人在碰到這種問題時，似乎有一種完美主義思想：要一步就找到正確思路，把題目解答出來.

舉個例子，用添加輔助線的方式解答幾何題，添加輔助線的方式有很多種方法，這個時候，很多同學會在挑選哪種添加方法上花費很多時間去思考，他們中大多數的心理是怕作圖的時候做錯了，然后不得不改變思路，由于不愿意花時間去改變原來已經深思熟慮的那條思路，所以干脆力求一次就做對.

其實，一次就做對，是需要很多的練習和長期的經驗積累才能夠達到的，這種數感和圖感的建立不是短期可以建立的. 同學們需要做的，其實很簡單，有了思路，就把自己的思路寫下來，然后證明你的思路是正確的；如果無法證明，則另外想思路. 這個過程看起來很簡單，但是只要重復去實踐，自然會形成一種狀態：一看題目，就大致知道有幾種思路，然后你就會一一去思考證明，一般情況下，總有一種是可以得出你的答案的.

有時候，當你推不開一扇門的時候，不要著急，試著反方向拉一下，或者橫向拉一下.

三、減少初中學生解題錯誤的方法

由上所述，學生不能順利正確地完成解題，產生解題錯誤，表明學生在解題過程中 受到干擾. 因此，減少初中解題錯誤的方法是預防和排除干擾. 為此，要抓好課前、課內、 課后三個環節.

（一）課前準備要有預見性

預防錯誤的發生，是減少初中學生解題錯誤的主要方法. 講課之前，教師應預測到學生學習本課內容時可能產生的錯誤，就能夠在課內講解時有意識地指出并加以強調，從而有效地控制錯誤的發生. 例如，講解方程

■ - ■ = 1.

之前，要預見到本題要用分式的基本性質與等式的性質，兩者有可能混淆，因而要在引入新課前須準備一些分數的基本性質與等式的性質的練習，幫助學生弄清兩者的不同，避免產生混亂與錯誤. 因此備課時，要仔細研究教科書正文中的關鍵字眼、例題后的注意、小結與復習中應該注意的幾個問題等，同時還要揣摸學生學習本課內容的心理過程，授業解惑，預先明了學生容易出錯之處，防患于未然. 如果學生出現問題而未察覺，錯誤沒有得到及時糾正，則遺患無窮，不僅影響當時的學習，還會影響以后的學習. 因此，預見錯誤并有效防范能夠為揭示錯誤、降低錯誤打下基礎.

（二）課內講解要有針對性

在課內講解時，要對學生可能出現的問題進行針對性的講解. 對于容易混淆的概念， 要引導學生用對比的方法，弄清它們的區別和聯系. 課內條件允許的話，可由個別學生分析解答例題，再由學生訂正，教師予以總結. 并給學生展示揭示錯誤、排除錯誤的手段，使學生會識別錯誤、改正錯誤. 要通過課堂提問及時了解學生情況，對學生的錯誤回答，要分析其原因，進行針對性講解，利用反面知識鞏固正面知識. 課堂練習是發現學生錯誤的另一條途徑，出現問題及時解決. 總之，要通過課堂教學，不僅教會學生知識，而且要使學生學會識別對錯，知錯能改.

（三）課后講評要有總結性

要認真分析學生作業中的問題，總結出典型錯誤，加以評述. 通過講評，進行適當的復習與總結，也使學生再經歷一次嘗試與修正的過程，增強識別、改正錯誤的能力.

綜上所述，學生的認知過程經歷了從無到有，從不會到會，由表及里，由量變到質變的過程. 其間正確與錯誤交織，對錯誤正確對待、認真分析、有效控制，能夠使學生的學習順利進行，并能逐漸提高學生觀察問題、分析問題和解決問題的能力. 教師在教學活動中不僅要考慮數學自身的特點，而且更應當遵循學生學習數學的心理規律，關注每一名學生在情感態度、思維能力、自我意識等多方面的進步和發展. 讓課堂教學從課內延伸到課外，從只注重學生知識結構的形成和認識圖式的建構，到關注學生的具體生活和直接經驗，并真正地深入到學生的精神世界，就會使教學活動的基礎性、發展性和創造性達到和諧統一，體現出“學習不是為了‘占有別人的知識，而是為了‘生長自己的知識”這種現代教育觀.