“學生說題”在初中數學教學中的實踐與研究

胡余建

【摘要】 “學生說題”是學生個體根據已有的知識經驗，通過說數學材料來表達解題的技巧和方法，從而使學生主動獲取信息，汲取知識，進一步發展數學思維，提高學生數學語言的表達能力. 在“學生說題”過程中，學生獲得的不僅只是分析問題和解決問題的能力，還獲得了數學的思想方法、數學表達能力以及嚴密的邏輯思維能力、推理能力和積極主動的學習品質. “學生說題”可以讓學生在互相交流中各抒己見，互獻智慧，在磨煉中探索、嘗試、驗證，進行思想方法的溝通，以達到集思廣益和突破創新的目的，培養學生思維的深刻性、廣闊性、創造性乃至批判性，開發學生的腦力資源，挖掘學生的潛在能力.

【關鍵詞】 學生說題；數學語言；思維方法；生成數學思想

在課程改革的大環境下，發揮學生的主體作用是每一位初中數學教師的重要任務. 發揮學生主體作用的方式有多種渠道，“學生說題”便是其中一種.

一、“學生說題”的含義及提出背景

美國著名心理學家布龍菲說過：“數學是一種語言”；“以前，人們認為數學只是自然科學的語言和工具，現在數學已成了所有科學——自然科學、社會科學、管理科學等的工具和語言”. 傳統數學教學因受應試教育的影響，重視學生書面表達，輕視學生口頭表達. 教師們普遍注重學生“怎樣解題”，而對“如何說題”卻有不同程度的忽略. 不論是隨堂練習，還是課后作業，總是一種模式：學生書面筆練，教師口頭評講. 通過這種常規方法，固然可以復習鞏固所學知識，掌握一些解題方法，但是筆練往往不能反映學生對題目中知識點、題型結構、條件問題關聯等等的認知情況；同時，解題時，學生一般都獨立思考，缺少相互間討論、交流和提高的機會，不少學生往往會因某一處卡殼而使思維中斷.

這一傳統數學教學模式和新課程標準提倡的“教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗”這一理念相悖. 因此，“學生說題”這種教學方式，作為傳統數學教學的一個輔助手段，就顯得尤為重要.

學生說題，是一種學習方法，通過說題，學會解這道題，舉一反三，學會解一類題，而且從中知道這道題所包含的理論層面的知識. 通過說題，能培養學生解題的思維習慣、思維品質，提高學生的解題能力，讓學生養成“說題、想題、做題、反思”的學習習慣，努力提高學生的數學素養、學生說題，有利于轉變教師教育教學觀念，有利于培養學生創新意識和創新思維，有利于培養學生敢于探索和創新的精神，有利于促進教師提高教育教學水平.

二、學生說題的教學實施

1. 組織與指導

為了讓“學生說題”能有序常態地開展，先期的組織和指導就顯得尤為重要. 我們可以把學生分成5～7人的小組，選好組長，再讓組長去安排成員從不同的方面去進行分析，然后匯總呈現，逐步讓每個成員都有單獨分析呈現的能力. 然后，教師對學生進行說題示范，教師當場給學生說題示范和學生通過觀察模仿積累階段，其主要任務是向學生傳授說題思想和教會學生獲取知識的方法，并在局部范圍內培養學生初步的說題能力. 通過精設遷移訓練，學生模仿說題，提高學生的交流意識和培養學生語言表達能力.

2. 學生說題的內容

合理選擇說題內容是使“學生說題”發揮良好效果的重要保障. 說題材料的選擇一般以作業或考試中反映出來比較普遍的、容易錯誤的內容為主. 那么，對這些題目，我們可以從以下幾個方面來實行.

3. 學生說題的實施策略

學生說題的實施方案或過程可用以下流程圖表示：

4. 學生說題的操作實例

雖然“學生說題”的內容和實施步驟是一致的，但對于不同類型的題目，說的側重點還是有所區別的，下面就“基礎性題目”的說題和“綜合性題目”的說題兩種不同側重點的說題模式來進行舉例說明.

基礎性題目，由于其題目的條件和結論比較簡潔，學生很少出現審題上的錯誤，所以，這類題目的說題重點是解法的優化及拓展變式，以達到發散思維，舉一反三的效果.

例題呈現 如圖1，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，已知△ABC的邊BC長為60厘米，高為40厘米，求正方形DEFG的邊長.

說題過程如下：

（1）說題目的條件、涉及知識點及題目結構

將題目的條件、所涉及的知識點及其聯系，題目的條件和問題之間的相互關系說清楚. 這是審題分析的重點，也是解決問題的關鍵. 在這個過程中，教師也可適時介入，挖掘隱含條件. 就上題而言，不難看出條件是已知一個正方形和三角形的一邊長及該邊上的高的長，涉及相似三角形的判定和性質、正方形的性質以及方程求解等方面的知識.

（2）說解題思路

解題思路的形成，需要通觀全局，局部入手，整體思維，即在掌握通性通法的同時，形成一個解題套路. 說題時，教師可引導學生由表及里進行分析，去偽存真加以改造，盡快找到解題思路.

根據前述分析，本題解法如下：

簡解1 設正方形DEFG的邊長為x cm，∵ DG∥BC，∴ = ，∴ = ，解得x = 24. ∴正方形DEFG的邊長為24cm.

（3）說解法優化

對于同一道題，從不同的角度去分析研究，長此以往，當學生遇到能用多種方法解答時，就會對各種解法的前景、計算繁簡程度，作出正確的預測和判斷，進而學會選擇“優秀”的解法.

如本題可引導學生歸納出利用“合成法”建立方程求解，解法如下：

簡解2 設正方形DEFG的邊長為x cm，∵ DG∥BC，DE∥AH，∴ = ， = . ∴ + = + = 1，即 + = 1，解得x = 24. ∴正方形DEFG的邊長為24 cm.

本題還可以引導學生利用“面積法”建立方程求解，解法如下：

簡解3 設正方形DEFG的邊長為x cm，則有DG = DE = x，AP = 40 - x. ∵ S△ABC = S△ADG + S梯形BCGD，∴ × 60 × 40 = x（40 - x） + x（60 - x），解得x = 24. ∴正方形DEFG的邊長為24cm.

（4）說拓展延伸

對題目的條件、結論進行一些變化，比如弱化某個條件、結論歸納出類型題，或改變某個條件、結論，或橫向、縱向拓展引申出一般規律等，那么，學生就不是解決一個問題，而是一串問題. 通過長期的訓練，可以培養學生的應變能力.

就上述例題而言，學生會得出以下變式：

① 由“一般圖形”向“特殊圖形”演變

變式1 如圖2，若把“△ABC”改為“Rt△ABC，∠C = 90°”，“高AH為40厘米”改為“AC = 40厘米”，其余條件和結論都不變，該題如何解？

這樣，除了用上述解法外，還能用“銳角三角比”來解，具體解法略.

變式2 已知△ABC是邊長為60厘米的正三角形，正方形DEFG的邊EF在△ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊AB、AC上，求正方形DEFG的邊長.

② 由“特殊圖形”向“一般圖形”演變

該題中“△ABC”為一般圖形，因此，只能對“正方形DEFG”作一般化處理，將其改成其他多邊形.

變式3 如圖3，把“正方形DEFG”換成“矩形DEFG”，并增加條件“矩形DEFG的周長為100厘米”，結論改為“求矩形DEFG的長和寬”，該題又該如何解答？

解法同解法1.

也可把正方形變成滿足一定條件的直角梯形，或者正六邊形等.

而綜合性題目，由于條件和結論相對比較復雜，學生在審題上就容易出現錯誤，解題的思路也較難得出，而這類題目的拓展延伸就顯得相當困難. 因此，對于這類題目，重點讓學生說審題要點、解題思路和如何避免出錯.

例題呈現 如圖4，在平面直角坐標系中，點A（，0），B（3，2），C（0，2），動點D以每秒1個單位的速度從點O出發沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發沿AB向終點B運動.過點E作EF上AB，交BC于點F，連接DA、DF.設運動時間為t秒.

（1）求∠ABC的度數；

（2）當t為何值時，AB∥DF？

（3）設四邊形AEFD的面積為S.

① 求S關于t的函數關系式；

② 若一拋物線y = -x2 + mx經過動點E，當S < 2時，求m的取值范圍（寫出答案即可）.

說題過程如下：

（1）說失分原因

① 大容量計算的嫻熟程度. 本小題的第（2）小題及第（3）小題的第①問的解析式，都涉及大容量計算.

② 考試中每一個細節的應對速度. 平日多算者勝，少算者不勝是事實.

③ 第（3）小題的第②問跳出了考前的常規操練，使思緒無法正確定位，在無法“透過現象看本質”時，對心理素質也是一種考驗.

（2）說對策及解題策略

①加強“識圖”能力的培養.

把圖形放入坐標平面，典型的數形結合，如本題中，“識圖”能力強的話，能直接看出BC∥x軸，DE∥x軸，這樣，對整個解題方向的確立及減少運算量都有極大的幫助.

② 加強大容量計算的訓練.

特別是涉及變量多的計算、變形，平時不做大量練習的話，考試時，由于緊張，極容易造成“動作”變形，犯低級錯誤.

③ 加強特殊三角形中的邊角關系的計算及轉換的訓練.

如本題中的第（2）小題，多次涉及30°角的直角三角形，熟練這類三角形三邊的數量關系，也能減少一定的運算量.

④ 加強整體思想的培養.

如本題第（3）小題的第1問，如圖5.

解法一 S = S△ADE + S△FDE

即S = DE·h2 + DE·h1

……

解法二 S = S梯形OABC - S△OAD - S△EBF - S△DFC

即S = 4 - t - BF·h3 - CF·CD.

……

無論用哪種解法，用整體思想后，運算量都可減少.

⑤ 加強函數圖像與性質的直觀理解.

本題第（3）題的第②問，在學生層面，由S < 2，可得0 < t < 1，拋物線y = - x2 + mx與x軸的交點坐標是（0，0），（m，0），隨著t的增加，（m，0）點向右移動，即m隨著t的增大而增大. 得出這個結論后，可用端點值代入得解.

另一種思路，把E（t + ，t）代入y = -x2 + mx，得-3（t + 1）2 + （t + 1）m = t，化簡得：m = + （t + 1），當t增大時，（t + 1）顯然增大， = ，顯然也是增大的，所以，m隨著t的增大而增大.

得出m = + （t + 1）后，還可這樣考慮的：

設0 < t1 < t2 < 1，

則m2 - m1 = + （t2 + 1） - - （t1 + 1） = + （t2 + 1） - （t1 + 1） = + （t2 - t1） > 0.

所以，m隨著t的增大而增大.

上述兩例說題實例，看似并沒有按完整的條理進行，其實本質是一樣的，按不同的題目，把需要討論交流的重點讓學生展現出來，收效頗豐.

三、學生說題的價值分析

“學生說題”，學生真正成了學習的主人，教師是學習的組織者和引導者. “學生說題”能培養學生的思維能力和自主獲取知識的能力，能充分挖掘出學生潛力. “學生說題”可以讓學生在相互交流中各抒己見，互獻智慧，在磨煉中探索、嘗試、驗證，進行思想方法的溝通，以達到集思廣益和突破創新的目的，培養學生思維的深刻性、廣闊性、創造性乃至批判性，開發學生的腦力資源，挖掘學生的潛在能力.

1. 突顯學生的主體作用. 民主、寬松的課堂氛圍是提高教學成效的關鍵. 在說題過程中，學生是學習的主人，教師是學習的組織者和引導者，要讓學生在課堂教學中敢于表達自己的想法，說出對問題的理解與體驗，營造出了一個和諧的學習氛圍，讓學生在寬松、融洽的氛圍中積極參與到學習活動中，從而激發學生內在的學習要求.

2. 豐富了數學學科素養. 數學學科素養是人在先天生理基礎上通過后天嚴格的數學學習活動獲得的、融于身心中的一種比較穩定的心理品質，是對人當前和未來生活有著重要影響的數學綜合素質. 其發展性的特征要求我們在數學教學中，不能把目光僅僅著眼于學生機械記憶一些定理、法則，而是要認識數學的價值，發揮數學的價值，使學生具有識別問題、分析問題及其數學地解決問題的能力. 讓學生說題，正好使學生從機械的讀題解題中得到升華，培養了學生的數學能力，豐富了學生的數學素養.

3. 教學效率的大幅提升. 通過學生說題這一模式，能在一定程度上改善以前“講一題，會一題”，甚至講了還不透徹的尷尬局面，充分發揮學生的主觀性，以達到“講一題，會一串”的效果，極大地提高了教學效率.

4. 教師業務水平日益提高. 教學是一對矛盾，教和學是一對矛盾的兩個方面，它們是對立統一的關系. 在教與學的矛盾關系中，學生是學習活動的主人，教學過程中教師的教只有以學生的主動學習為基礎，才能取得預期的效果. 偉大教育家陶行知先生認為，“教育是創造的事業，先生創造學生，學生創造老師，學生先生合作而創造出值得彼此崇拜的活人. 倘若創造出丑惡的活人，不但是所塑之像失敗，亦是合作塑像者之失敗”.

而“學生說題”這種開放式的教學不但有利于學生的成長，同時也有利于老師的發展，因為好老師也是學生教會的，好老師能從學生的不斷生成中獲得豐富的“營養”.

總之，“學生說題”是教學實踐中提煉出來的一種新型的雙邊教學模式，它是學生擺脫題海、減負增效的有效手段，對培養學生的綜合素質和思維品質大有益處. 通過學生說題，能更好地發揮和發展學生學習的積極性、主動性、獨立性和創造性，讓數學課堂成為教師樂教、學生樂學的舞臺.

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