初中數學教學中方程函數思想的滲透

袁文軍

方程與函數是初中數學教學中的基礎內容，同時也是數學教學的重點內容. 而方程函數思想作為眾多數學思想中的一種，其可以簡化復雜或難度較大的數學問題，使學生明確解題思路，從而有助于學生找到正確的解題方法. 方程思想就是以待求問題數量之間的關系為依據，借助題目所提供的各種已知條件來將問題轉化為特定的方程，進而通過求解特定的方程來達到解決問題的目的. 函數思想則是通過對于問題中各種關系的分析與對比來將待求問題轉化為與函數有關的問題，進而通過求解函數問題來達到解決待求問題的目的. 本文從方程函數思想的形成入手，就其在初中數學中的滲透與應用進行了詳細的分析和研究.

1. 方程函數思想的形成

方程函數思想作為一種重要的數學解題思想，其對于學生學習數學以及其數學能力的提高具有重要的作用. 而就培養學生方程函數思想的具體手段而言，其可以從以下幾個方面著手努力：

1.1 夯實數學基礎，提高學生認識

數學教師在平時的數學課堂教學過程中要增強學生對于數學基礎知識的認識度，提高學生對于不等式、函數以及方程等內容運用的靈活度. 只有這樣，才可以使學生在實際的解題過程中更加快捷、方便地應用方程函數思想.

1.2 培養學生方程函數思想意識

數學教師在日常的數學教學過程中除了要教授給學生必要的數學思想外，還需要注重培養學生的方程函數思想意識，使學生可以挖掘有關數學問題題目中所隱含的一些條件，從而達到構建有關函數或方程來解決數學問題的目的. 此外，數學教師在教授給學生有關的數學解題方法的同時，也要注重提高學生的邏輯思維、發散思維以及觀察能力.

1.3 提高學生創新思維能力

數學思想通常具有適用性廣，即它不僅僅局限于數學的某一部分內容，而是適用于數學各個方面的知識，只有提高學生的創新思維能力，才可以使學生在實際的解題過程中做到舉一反三、觸類旁通，從而將數學有關方面的定理、方法、技巧和公式做到靈活運用.

2. 初中數學教學中方程函數思想的具體應用

2.1 利用方程或方程組解決有關數學問題

“雞兔同籠”問題是一道經典的數學習題，如現有正常雞兔若干只共存于同一籠子，共有70只腳，25個頭，求該籠子中雞、兔各有多少只？

解析：該道例題是一個典型的“雞兔共籠”問題，主要涉及題目中所含有的數量問題. 通過對于題目中隱含的數量關系進行分析，我們發現可以通過采用建立方程（組）的方式來達到簡化問題的目的，下面就該道例題的具體方法進行詳細的闡釋.

解法一，建立方程. 假設該籠子中兔子的數量為x只，則籠子中所含有的雞的數量為（25 - x）只，則可建立如下方程：4x + 2（25 - x） = 70，解得：x = 10，所以該籠子中有10只兔子，15只雞.

解法二，建立方程組. 假設該籠子中兔子的數量為x只，雞的數量為y只，則可建立如下方程組：x + y = 25，4x + 2y = 70，解得：x = 10，y = 15，所以該籠子中有10只兔子，15只雞.

2.2 利用函數來解決有關方面的數學問題

王明自己開了一家特制體育用品專賣店，他所銷售的每個籃球的進價為80元，經過大量的銷售統計之后，王明發現籃球每月的銷售數目y與每個籃球銷售價格x之間具有一定的函數關系，即：y = -5x + 100. 如果王明每個月銷售所獲得的利潤為M，那么王明應該將每個籃球的定價標為多少，他才可以從中獲得最大的銷售利潤？

解析：該道數學題目是一個典型的函數問題，通過對于題目中已知條件的分析、歸納和整理，可以建立一定的函數關系，從而通過求解函數問題來達到解決問題的目的，下面就該道例題的具體方法進行詳細的闡釋.

解：由題意得，王明所獲得利潤M可以用下面的方式來加以表示，即：M=（x - 80）（-5x + 600） = -5x2 + 1000x - 48000，根據二次函數的性質可以知道，當且僅當x = ■ = 100，即當單價標為100元/個時，王明可以獲得最大的月收益.

2.3 利用函數與方程之間的相互轉化來解決有關方面的數學問題

方程函數思想不僅包括方程思想和函數思想，同時也包含函數與方程二者之間相互轉化的思想. 而二者之間相互轉化的思想對于某些類型的數學問題具有極佳的適用性，可以達到簡化計算的目的. 下面就該方法的具體應用以實例加以闡述.

求使方程x2 - 3x + k = 0的根滿足一個大于1，一個小于1的k的取值范圍.

解析：要求方程x2 - 3x + k = 0的根滿足特定的條件，實際上也就是求使函數y = x2 - 3x + k取值為0的自變量的取值，也可以理解為函數y與x軸的交點，從而使方程根的問題轉化為與函數有關的數學問題，達到簡化計算的目的，下面就該道例題的具體方法進行詳細的闡釋.

解：要求方程x2 - 3x + k = 0根的取值情況，實際上就是求函數y = x2 - 3x + k取值為0的自變量的值，也就是二次函數y與x軸的交點. 根據二次函數的性質，我們可以輕易地知道當x = 1，y < 0的時候，x2 - 3x + k = 0的根滿足一個大于1，一個小于1，也就是說，-2 + k < 0，由此可知：當k < 2時，方程的根滿足特定的條件.

總之，方程函數思想是一種有效的數學思想，其可以簡化數學問題，提高學生分析、解決數學問題的能力，培養學生的邏輯思維和創新思維.