數學解題中的巧妙變形

李紅霞

變形是數學解題活動中最基本而又常用的方法。那什么是數學變形？這是一個很模糊的概念，總之就是為了達到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉化和聯想的準備階段。它屬于技能性的知識，既靈活又多變；一個公式，一個法則，它的表述形式是多種多樣的。當然它也存在著技巧和方法，也就是人們在學習數學的實踐中反復操練才能把握，乃至靈活應用的。在數學解題中，為了完成論證、求值、化簡等任務，常要對某些式子進行恒等變形，但是恒等變形又沒有規定的法則與方法，一個式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強。本文主要介紹變形技巧在高中數學中的一些應用。掌握好并靈活應用這些技巧，可以很快確定解題方向，減少解題的盲目性，提高解題效率。

變形舉例

“0”的變形技巧 恩格斯在《自然辨證法》一書中指出：“零不只是一個非常確定的數，而且它本身比其他一切被要所限定的數都更重要，事實上，零比其他一切數都有更豐富的內容……零乘以任何一個數，都使這個數變為零，零除以任何一個不等于零的數，都等于零……”由于零具備許多特殊的性質，因此，在解題活動中若能對這些特性加以注意，對于解題的順利進行是大有幫助的，下面舉例幾個“0”的特性在解題中的應用。例一：若a>b>c，求證.

分析：通過觀察可發現a-c可以變形為a-b+b-b，即式子a-c加了0（-b+b=0），則再利用不等式的性質可方便解決這道題。“0”在這道題目中作為一座橋梁，通過這座橋梁，使我們的問題就變得很簡單。另外，在指數、對數中，解關于含有指數與對數的不等式，一定要化成同底的指數與對數。特別是在對數中，對于“0”就可以靈活處理，可以根據需要把“0”化成所需要的對數。

“1”的變形技巧 對于“1”的變型，在三角函數中，使用的最為廣泛。例二：已知tanα=2，求2sin2α-3sinαcosα-2cos2α的值。這道題的常規解法是把正切轉化成正弦與余弦的比值等于2，且正余弦的平方和等于1，聯立方程組，分別解出α的正余弦值，再代入所求的式子里面，得出所求式子的值，其中還會用到分類討論的思想，所以解題的過程就十分麻煩，且比較浪費時間。但如果應用“1”的代換，解題過程就相當的簡單。其解題過程如下：

∴當即時，函數單調遞增；當即時，函數單調遞減。像這道題，把這樣一個比較復雜的式子，經過了變形，化簡成了一個簡單的正弦型的函數，最終通過了正弦函數的性質，得到了相應的結果。所以，像這樣的變形，可以把不熟悉的問題，通過變形轉化成熟悉的問題，進而達到解題的效果。

數列中的變形 同樣，在數列的解題過程中也用到了變形這一技巧。例四，已知數列，求的值。解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項為-1，d=-1的等差數列故∴。這道題，也是應用了變形的技巧。先把已知條件化成了數列的問題，而通過數列的通項公式這座橋，解出了。

結束語

數學中變形的方法與技巧遠遠不止以上這些，而上述幾種只不過是許多變形技巧中的幾個小分支。變形技巧是數學解題的一種方法，變形能力的強弱直接制約著解題能力的高低。在此強調，變形屬于技能性的知識，需要在實踐中反復操練才能把握，直至靈活與綜合應用。由于高中數學的改革及社會發展的需求，以及提高學生應試能力和解決實際問題的能力，數學變形技巧作為一種解題的手段越來越被人們所喜愛，但是它并無一定之規，所以這就需要在平時的學習中加以運用和積累。如果熟練掌握了基本的變形技巧，這會使解題過程得心應手，提高學生對數學的興趣和增強對數學學習的信心。

（作者單位：內蒙古自治區阿拉善盟第一中學）