基于多項式的分形插值曲面構造方法

孫秀清??馮志剛

【摘要】由插值多項式出發，構造適當的迭代函數系，通過迭代得到分形插值曲面.該方法解除了邊界插值節點共線和縱向尺度因子相等的限制，從而使得分形插值更具有實用價值.

【關鍵詞】插值多項式；迭代函數系；分形插值曲面

【基金項目】國家自然科學基金項目（51079064）；中國礦業大學煤炭資源與安全開采國家重點實驗室開放基金項目（SKLCRSM10KFA02）

1.引言

20世紀80年代美國數學家Barnsley首先提出了分形插值方法，根據給定的插值節點，可以構造適當的迭代函數系（IFS），使得迭代函數系的不變集是一個插值函數的圖像.根據Barnsley分形插值的思想，Massopust給出了三角區域上分形插值曲面的構造方法，為了保證得到的分形插值曲面的連續性，附加了邊界上插值節點共面的條件.Geronimo和Hardin通過將多邊形區域分割成若干個三角形的方法，研究了多邊形上的分形插值問題.Malysz在迭代函數系中引用反射變換，給出了任意插值節點的分形插值函數的構造方法，但在此方法中要求縱向尺度因子都相等.縱觀以上研究可以發現，為了保證分形插值曲面的連續性，對插值節點或縱向尺度因子都附加了一些條件.Feng給出了矩形區域分形插值曲面連續的一般條件，但由于該條件需要考慮生成的分形插值曲面的邊界曲線，因此它在曲面生成之前無法判斷.對于矩形區域上任意插值節點的情形，Feng等在迭代函數系中引入了函數縱向尺度因子，從而保證了分形插值曲面的連續，但由于函數縱向因子的引入，使得這類分形插值曲面的維數難以控制.

本文討論矩形區域格點上任意插值節點、一般常數縱向尺度因子的分形插值曲面的構造方法.其基本步驟是先構造過插值節點的二元插值多項式，根據這個多項式構造含有常數尺度因子的迭代函數系，該迭代函數系的不變集就是過插值節點的分形插值曲面.通過改變分形縱向尺度因子的大小可以調節分形插值曲面的粗糙程度.