淺談定積分不等式證明中輔助函數的構造方法

黃紹東

摘 要：構造輔助函數法是高等數學中解決問題的一種重要方法，在解決實際問題中有著廣泛的應用，通過研究微積分學中輔助函數的構造法，構造與問題相關的輔助函數，從而得出欲證明的結論。尤其關于定積分不等式的證明在近幾年的研究生數學考試中又頻繁出現。借助適當的輔助函數來證明定積分不等式是一種非常重要且行之有效的方法。本文對某些定積分不等式中輔助函數的構造方法簡單探討。

關鍵詞：定積分不等式；構造；輔助函數；變限法

當某些數學問題使用通常辦法去考慮而很難奏效時，可根據題設條件和結論特征、性質展開聯想，進而構造出解決問題的特殊模式——構造輔助函數。輔助函數構造法是高等數學中一個重要的思想方法，在高等數學中廣泛應用。構造輔助函數是把復雜問題轉化為已知的容易解決問題的一種方法，在解題時，常表現為不對問題本身求解，而是構造一個與問題有關的輔助問題進行求解。微積分學中輔助函數的構造是在一定條件下利用微積分中值定理求解數學問題的方法。可以解決高等數學中眾多難題，尤其是在微積分證明題中應用頗廣，可達到事半功倍的效果。特別是定積分不等式的證明，往往需要借助恰當的輔助函數才能順利完成，然而，對基礎一般的學生來說，構造恰當的輔助函數是相當有難度的。筆者在教學中進行探索，找到一些可行的方法，在此與廣大讀者進行交流。

一、構造輔助函數的原則

輔助函數的構造是有一定規律的。當某些數學問題使用通常的方法按定勢思維去考慮很難奏效時，可根據題設條件和結論的特征、性質展開聯想，進而構造出解決問題的特殊模式，這就是構造輔助函數解題的一般思路。

二、構造輔助函數方法探討

1.僅告知被積函數連續的命題的證法

一般來說，這類命題的證明要做輔助函數（或者說用輔助函數法更簡便）。

在定積分不等式中，輔助函數φ（x）的構造方法是將定積分不等式中，積分上限（或下限）及相同字母換成x，移項使不等式一端為 0，則另一端即為所設的輔助函數φ（x）。

這類命題的證明思路：

（1）做輔助函數φ（x）；

（2）求φ（x）的導數φ'（x），并判別φ（x）的單調性；

（3）求φ（x）在積分區間[a，b]的端點值φ（a），φ（b），其中必有一個值為“0”，由第2條思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），從而得出命題的證明。

2.已知被積函數f（x）一階可導，又至少一個端點的函數值為0（f（a）=0或f（b）=0）的命題的證法

（1）證題思路之一。①寫出含這個端點的拉格朗日中值定理：f（x）=f （x）-f（a）=（x-a）f '（ξ），（f（a）=

0）或f（x）=f（x）-f（b）=（x-b）f '（ξ），（f（b）=0）。②再根據題意進行不等式的放縮。③用定積分的比較定理、估值定理或函數的絕對值不等式等定積分性質作分析處理。

例1，設f（x）在[a，b]上可導，且f '（x）≤M，f（a）=0，證明

∫ f（x）dx≤—（b-a）2

證明：由題設對任意的x∈[a，b]，

可知f（x）在[a，b]上滿足拉氏微分中值定理，于是有：

f（x）=f（x）-f（a）=f '（ξ） （x-a），ξ∈（a，x）

∵f（x）≤M，∴f（x）≤M（x-a），

由定積分比較定理，得出：

∫ f（x）dx≤∫M（x-a）dx=—

（b-a）2

（2）證明思路之二。①寫出如下等式：

f（x）=f（x）-f（a）=∫ f'（t）dt（當f（a）=0時）

或f（x）-f（ξ）=∫ f'（t）dt

②利用定積分比較定理、估值定理或絕對值不等式進行分析處理。

3.已知被積函數f（x）二階或二階以上可導，且又知最高階導數的符號的命題的證法

證明思路：直接寫出f（x）的泰勒展開式（證明定積分等式是將輔助函數F（x）=∫ f'（t）dt展成泰勒公式），然后根據題意對展開式進行放縮。

三、結束語

輔助函數的構造在高等數學中一直占有重要地位，尤其是在微積分學中。輔助函數的構造是我們解決問題的重要工具，對它的研究從沒有中斷過，很多數學工作者對微積分學中輔助函數的構造做了很多研究，也取得了很多學術成果。本文從構造輔助函數的基本原則入手，總結了幾種輔助函數的構造方法，同時也體現了構造輔助函數解決問題對培養學生創新思維的重要作用。

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（作者單位：河南工業和信息化職業學院）