微分幾何教學嘗試

陶詔靈 高亞靜 劉雨田

摘 要：微分幾何是運用微積分的理論研究空間的幾何性質的數學分支學科。文中基于微分幾何教學實踐，倡導依據不同的教學內容、教學時間采用不同的教學方法與模式。舉例說明信息技術促進微分幾何教學理解，嘗試、期盼信息技術優勢與傳統教育模式的深度融合，努力進行敏捷的全要素配合，力求更好地傳遞出正能量。通過“簡化”微分幾何的知識結構，“美化”微分幾何教學，加強知識的橫向與縱向類比與對照，以期在為學生們提供優質服務的同時實現教學質量的提高。

關鍵詞：微分幾何 教學模式 教學方法 教學質量

中圖分類號：G42 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（c）-0162-02

Differential Geometry Teaching Experiment

Tao Zhaoling Gao Yajing Liu Yutian

（School of Mathematics & statistics， Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing Jiangsu，210044，China）

Abstract：Differential geometry， one of the branches of mathematics，apply the theory of differential and calculusto study space geometric properties.Advocated in this paper，what different teaching methods and modelsare adoptedare based on the differential geometry teaching practice which is according to different teaching content and teaching time.Illustrating the information technologypromote teaching understanding on differential geometry.Looking forward to the deeply integrate about the advantage of information technology and traditional education.Trying toagile match the total factor and strive to convey the positive energybetter.By "simplified" differential geometry knowledge structure and "beautification"differential geometry teaching， strengthen the transverse and longitudinal comparison and contrast of the knowledge.Expecting toprovide the high-quality service for the students and achieve the improvement of teaching quality at the same time.

Key Words：Differential geometry；Teaching mode；Teaching method；Quality of teaching

微分幾何是微積分在幾何中的應用。求曲線在一點的切線，相當于求函數在一點的微分，而要給出閉曲線所圍區域的面積，就歸結為求積分，但是物理世界的曲線、曲面是異常復雜的，反過來又向整個數學提出許多重大問題。作為微分幾何學入門的本科微分幾何課程，充分展示著數與形的奇妙結合，成為學生了解近代數學發展的一個有效途徑，是學習更高級知識的橋梁， 其在學生的數學能力培養、思維品質提高以及后續高級課程學習等方面都具有重要作用。

為了提升微分幾何的教學質量，努力進行全要素配合，力求更好地為學生服務。挖掘、整合微分幾何的知識內涵，“簡化”微分幾何的知識結構，多角度、多形式、多層面地梳理微分幾何的知識框架，突出其間的幾何與分析特征，加強知識的橫向與縱向類比與對照；“美化”微分幾何教學，把相關知識進行深層加工和梳理，以易于被學生認識與接受的審美信息形式呈現給學生，讓學生學會發現美、體會美，喚起學生的靈動感與主動性，激發學生健康向上的數學審美意識，巧妙降低課程的枯燥程度，提高學生對微分幾何的認識，以提升微分幾何的教學效果。

1 教學過程、教學方法與模式

教學過程中力求多種教學模式、教學方法的靈活交替或轉換。依據教學內容、教學時間的不同采用不同的教學方法與模式。如，國慶臨放假前的那次課，設計一堂復習課，實現全覆蓋新學期以來的知識點，稍稍重視一下趣味性，同時采用互動的形式完成課堂內的練習，可以說足以讓愿意投入其中的學生們在小長假之后對那時課程的主要內容絕對留有較深的印象。又如，活動標架的建立往往需要鋪墊的時間多一點，教師需要做的也要耐心細致點。但在學習基本三棱形之后，伏雷內公式的導出完全可以交由學生來做。雖然學生們對向量的數量積、向量積和混合積等算不上熟練，但只要加以引導，自己推導的效果比教師推理的好很多，而且正好有利于學生將來更好地運用向量的運算和導出的公式，隨后欣賞起其間的反對稱美來也更具自豪感。

作為愉快教學方式的擁戴者，我們也進行了相關嘗試。一般選擇輕音樂，播放時間則往往是課間或者音樂伴隨圖片展示飄出。幾何自然是與圖形不分離的。大自然中攀緣植物的形態、上海中心大廈的螺旋梯等讓我們學習起圓柱螺線來更覺得踏實。憑著信息社會的優越，依靠網絡，我們不僅能欣賞生物化學的DNA雙螺線圖形；而且還能全方位感受與DNA結構相似的世界上首座曲線橋，新加坡的螺旋人行天橋，那充溢著未來感的設計無疑讓觀者感受到幾何的生命力。

微分幾何無時無處不在向人們展示著其巨大的魅力。生活的世界中，存在著各種各樣的光滑曲線和曲面，以及眾多的賞心悅目的藝術幾何造型。我們當然不能忽略它們的作用。為了更好地理解曲面，結合線上線下實際，我們展示了一些著名的標志性建筑，其中涉及迪拜大廈、臺北的國際金融中心大廈、上海的中心大廈與金茂大廈、深圳的帝王大廈；馬來西亞首都吉隆坡的雙子塔、在建的武漢CBD雙子塔、正在興建的廈門雙子塔的設計圖、珠江新城中帶有遺憾的建筑——中軸線上不對稱的廣州“雙子塔”、毀于“911”的紐約雙子星。

對于重要的概念，如曲率，正常教學之外，我們提及了激光近視手術。或許因為班上近視的同學不少，學生們對它的興趣遠超出想象，比起講述那是研究靜電場中某些問題的一個有力工具吸引力大多了。又如，關于切觸這個概念，我們談起鞋的磨腳問題，聊起了后跟貼等。原來，微分幾何真的離我們很近很近。

體會“數”與“形”的巧妙結合，“理論”與“應用”的有機結合，自然有利于促進學生們在邏輯思維能力與直覺思維能力的全面發展。

當然，正常的教學要求、教學內容也是不能忘的。簡單而言，教學內容就是如下兩個基本問題。

正問題： 曲線/曲面特征指標內蘊量；

反問題： 基本不變量曲線/曲面的設計與構造曲線/曲面基本定理。

問題、知識都是由人發現的。相關科學家自然也不能被忽略。歐拉、蒙日、高斯、黎曼、克萊因、嘉當；蘇步青、陳省身、谷超豪、胡和生、李安民……微分幾何無疑有著悠久的研究歷史、曲折的發展過程。在教學中，我們也注重學科發展簡史、重要歷史人物和重要歷史進程的簡介。介紹知識點結合與之相關的數學家及其成就，以及有關理論在歷史上的發展情況，幫助學生了解國內國際微分幾何學以及微分幾何學者們的成長與發展；開闊知識面、增加學習的興趣、體會各知識點所傳遞的思想以及它們之間的有機聯系。而且，許多數學家曲折的人生經歷、孜孜以求的科研奮斗精神，無疑會對學生產生積極的人格影響。因此，若聯系新常態，這必然會促進學生們在知識與技能、情感態度與價值觀等方面的和諧發展。

教學過程中，我們也力求實現學科間的橫向溝通與縱向聯系，實現信息技術優勢與傳統教育的深度融合，努力構建以學生為中心的教學模式。因而努力抓常、抓細，力求持久地抓住知識信息間的聯系。鼓勵學生運用Matlab、Maple等軟件進行學習，希望能更上一層樓。

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