阻尼振動(dòng)及受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量研究

朱博

摘 要：文章基于機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象，對(duì)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的弱阻尼、過(guò)阻尼、臨界三種狀態(tài)進(jìn)行分析，對(duì)其能量損耗規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，并對(duì)受迫振動(dòng)系統(tǒng)中能量損耗和能量補(bǔ)充問(wèn)題進(jìn)行探討，以期能夠增進(jìn)人們對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：機(jī)械振動(dòng)；阻尼振動(dòng)；受迫振動(dòng)；能量損耗

機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象廣泛存在于自然界和我們?nèi)粘Ｉ钪校鐦?shù)梢迎風(fēng)擺動(dòng)、浮標(biāo)隨波浮動(dòng)、活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)以及鐘擺的左右擺動(dòng)等，還有一些我們用肉眼無(wú)法感知的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，如電磁振蕩、原子熱運(yùn)動(dòng)等。總而言之，振動(dòng)廣泛存在于物理學(xué)、生物學(xué)以及化學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，是一種十分普遍的運(yùn)動(dòng)形式，對(duì)振動(dòng)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行探討，具有重要的理論指導(dǎo)和現(xiàn)實(shí)意義。

1 機(jī)械振動(dòng)原理及特征分析

在物理學(xué)中，將物體或質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置附近所做的往復(fù)運(yùn)動(dòng)稱為機(jī)械振動(dòng)，其強(qiáng)弱受到位移、速度以及加速度的影響，通常用振動(dòng)量來(lái)表示，在機(jī)械工程領(lǐng)域中，機(jī)械設(shè)備的振動(dòng)量一旦超過(guò)允許的范圍，就會(huì)產(chǎn)生很大的動(dòng)載荷和噪音，其直接后果就是縮短設(shè)備的使用壽命，因此，機(jī)械設(shè)備只有充分利用振動(dòng)原理，才能夠產(chǎn)生預(yù)期的振動(dòng)，更好地發(fā)揮其工作性能。在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，對(duì)機(jī)械設(shè)備的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行研究，需要建立動(dòng)力學(xué)模型，并在已知工作條件和外部激勵(lì)基礎(chǔ)上進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，即要測(cè)定振動(dòng)頻率、剛度、模態(tài)振型、阻尼等固有特性，計(jì)算激勵(lì)狀態(tài)下質(zhì)點(diǎn)的震動(dòng)量、振動(dòng)時(shí)間歷程以及頻譜，并對(duì)機(jī)械設(shè)備的動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行分析[1]。理想化的振動(dòng)是隨著時(shí)間而呈現(xiàn)正弦函數(shù)變化，即簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單、最常見(jiàn)的形式，很多常見(jiàn)的振動(dòng)都可以視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)迭加的結(jié)果，這是在一定條件下對(duì)這種振動(dòng)形式的科學(xué)抽象，而在具體的振動(dòng)系統(tǒng)中，都不可避免地受到各種因素的影響而存在不同程度的損耗情況，在各種損害因素作用下，振動(dòng)系統(tǒng)所產(chǎn)生的能量也會(huì)被損失掉，我們將這種振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)[2]。為保證振動(dòng)能夠持續(xù)下去，就要對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)施加一個(gè)周期性的外力，這時(shí)的振動(dòng)即為受迫振動(dòng)。

2 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量損耗規(guī)律

阻尼振動(dòng)也稱減幅振動(dòng)，是指在受到摩擦、介質(zhì)阻力以及其他能耗時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)隨時(shí)間變化振幅逐漸衰減的振動(dòng)，這實(shí)際上就是能量不斷減少的振動(dòng)，該系統(tǒng)即屬于耗散系統(tǒng)。

2.1 能量損耗原因

外界的摩擦和介質(zhì)阻力是始終存在的，彈簧振子和單擺在振動(dòng)過(guò)程中必然要受到二者的影響，進(jìn)而不斷克服外界阻力做功，并隨著能量的不斷消耗，振幅也會(huì)不斷減小，指導(dǎo)振動(dòng)停止，我們可以將振動(dòng)系統(tǒng)能量損耗的原因概括為兩種：一種是摩擦阻尼，受摩擦阻力影響，振動(dòng)系統(tǒng)的能量會(huì)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)闊徇\(yùn)動(dòng)能量，如單擺擺動(dòng)過(guò)程實(shí)際上就是擺的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為空氣內(nèi)能的過(guò)程；另一種是輻射阻尼，受周圍介質(zhì)影響，振動(dòng)系統(tǒng)的能量會(huì)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)椴▌?dòng)的能量，如琴弦的發(fā)聲實(shí)際上就是在以波的形式向外輻射。以水平彈簧振子為例，物體在阻尼運(yùn)動(dòng)中要受到自身重力、地面支撐力、彈簧彈性力和阻力的影響，根據(jù)微分方程理論，振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程獲取[3]。

2.2 動(dòng)力學(xué)方程

阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)包括弱阻尼、過(guò)阻尼和臨界阻尼三種，現(xiàn)利用動(dòng)力學(xué)方程對(duì)這三種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行分析。（1）弱阻尼狀態(tài)。當(dāng)阻力很小時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：x=Ae-Ucos（k+T），式中，A和T為待定常數(shù)（與初始條件有關(guān)），U表示阻尼因數(shù)，k表示包含的兩因子。振動(dòng)系統(tǒng)的振幅會(huì)隨著時(shí)間的推移而不斷變化，阻尼因數(shù)越小，振幅衰減就越慢。我們將質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)不斷做縮小的往復(fù)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，稱為弱阻尼狀態(tài)。（2）過(guò)阻尼狀態(tài)。當(dāng)阻力足夠大時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：x=C1e-（U-k）t+C2e-（U-k）t，式中，C1和C2為待定常數(shù)（與初始條件有關(guān)），此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)既不是周期的也不是往復(fù)的，會(huì)逐漸返回到平衡位置，直至停下來(lái)，這種狀態(tài)即為過(guò)阻尼狀態(tài)，阻尼因數(shù)越大，能耗損耗越慢，質(zhì)點(diǎn)回到平衡位置所需要的時(shí)間也就越長(zhǎng)。（3）臨界阻尼狀態(tài)。當(dāng)所受阻力剛好滿足各因子時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：x=（C1+C2t）e-U，式中，C1和C2為待定常數(shù)（與初始條件有關(guān)），此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)仍不是往復(fù)的，質(zhì)點(diǎn)會(huì)很快回到平衡位置，這種狀態(tài)即為臨界阻尼狀態(tài)[4]。

3 受迫振動(dòng)系統(tǒng)的能量分析

在自由振動(dòng)過(guò)程中，振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)受到各種損耗因素的影響，待其能量損耗殆盡，便會(huì)停止振動(dòng)，為維持其振動(dòng)，就要對(duì)其補(bǔ)充能量，機(jī)械系統(tǒng)受到外界持續(xù)激勵(lì)而產(chǎn)生的振動(dòng)即為受迫振動(dòng)，受迫振動(dòng)系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)力即為外來(lái)的周期性力。受迫振動(dòng)有瞬態(tài)振動(dòng)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)之分，前者是在振動(dòng)初始階段所出現(xiàn)的隨時(shí)間變化的振動(dòng)，其存在時(shí)間較短；后者是借助外界能量來(lái)補(bǔ)償阻尼所耗散的能量，維持系統(tǒng)做持續(xù)的等幅振動(dòng)，激勵(lì)頻率與振動(dòng)頻率一致。對(duì)于該振動(dòng)的分析，主要考慮的是系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)，周期激勵(lì)屬于較為典型的常態(tài)性激勵(lì)，可將其理解為若干諧和激勵(lì)之和，根據(jù)疊加原理，求得系統(tǒng)對(duì)各諧和激勵(lì)的響應(yīng)，并將其疊加起來(lái)，便能夠獲得振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的總響應(yīng)。通常情況下，振子在水平方向會(huì)受到彈性力、阻尼力和驅(qū)動(dòng)力（周期性外力）的共同作用，根據(jù)微分方程理論，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：x=Ae-Ucos（k+T）+A0（K+H），式中，A和T為待定常數(shù)（與初始條件有關(guān)），最終得到的是阻尼振動(dòng)和周期振動(dòng)之和，前者隨著時(shí)間的變化而趨于零，其反映的是受迫振動(dòng)的暫態(tài)行為，后者表示的是與驅(qū)動(dòng)力頻率相同的周期振動(dòng)，二者的區(qū)別在于是否與驅(qū)動(dòng)力有關(guān)[5]。系統(tǒng)的能量損耗與阻力系數(shù)有關(guān)，其能量補(bǔ)充與驅(qū)動(dòng)力頻率有關(guān)，當(dāng)能量損耗與能量補(bǔ)充的數(shù)量相同時(shí)，系統(tǒng)便會(huì)維持一個(gè)穩(wěn)定的振幅。

4 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，當(dāng)阻尼很小時(shí)，我們不經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的觀察很難看出振動(dòng)系統(tǒng)振幅的減小，常將其作為簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)處理，但是在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要考慮到影響振動(dòng)系統(tǒng)的各種損耗因素，以便獲得系統(tǒng)的能量損耗情況來(lái)對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，其中就涉及到阻尼振動(dòng)和受迫振動(dòng)，基于機(jī)械振動(dòng)原理來(lái)理解阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，才能更好地解決能量損耗和能量補(bǔ)充問(wèn)題，這在實(shí)際運(yùn)用中也是十分有益的。

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