APOS理論指導下的映射概念教學探究

儲著斌

摘 要：APOS理論是美國數學家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種數學教學理論。他將數學概念的建立分為四個階段，并用于指導教學實踐。本文嘗試通過“映射”的教學設計分析APOS理論在數學概念教學中的應用。

關鍵詞：APOS理論；數學概念；映射

概念是人們對客觀事物在感性認識的基礎上經過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動，逐步認識到它的本質屬性以后才形成的。概念是思維的基本單位，理解概念是一切數學活動的基礎，概念混淆不清就無法進行其他數學活動。然而受應試教育的影響，概念的教學往往易被忽視，許多教師認為：概念就是一種規定，讓學生記住是主要的，“填鴨式”教學和“啟發式”教學沒什么區別，講與不講效果也差不多。因此，“一個定義，幾項注意”式的概念教學方式比比皆是，在高中數學教學實際中表現得更為突出。

一、什么是APOS理論

任何一個數學教育中的理論或模型都應該致力于對“學生是如何學數學的”及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習”的理解，而不僅僅是陳述一些事實。[1]基于這樣的考慮，1991年美國數學家、教育家杜賓斯基等人提出了APOS理論：APOS分別是由英文action（操作）、process（過程）、object（對象）和scheme（圖示）的第一個字母所組合而成。這種理論認為，在數學學習中，如果引導個體經過思維的操作、過程和對象等幾個階段后，個體一般就能在建構、反思的基礎上把它們組成圖式，從而理清問題情景、順利解決問題。[2]APOS理論被引入到我國的數學教育界，是為數不多的依據數學學科特點而建立的教學理論。與傳統的數學概念相比較，APOS理論教學更能體現“學生主體，教師主導”的建構主義理念，更符合學生的認知特點。

1.第一階段——操作（或活動）（action）階段

數學來源于實際，并應用于實際。而數學教學活動就是將實際問題抽象概括為理論問題，并給予科學的定義即數學概念，同時應用于研究和實際。為更好地理解這些數學概念需要還原操作或活動，要像數學家一樣親自投入，通過實踐活動來獲得知識，如果沒有這些物理的操作和心理的活動，數學概念將成為無源之水、無本之木。這些操作和活動過程蘊含了數學概念的本質特征，教師通過創設問題情境，讓學生進行實際體驗，與已獲得的知識進行聯系和比較，引發學生的思考，引起思維和認知沖突，這樣便使學生獲得了對問題的初步認識。因此這一階段的學習實質上是數學概念過程化。

2.第二階段——過程（process）階段

在此階段杜賓斯基認為學生需要掌握一種特殊的能力：內化和壓縮。所謂內化和壓縮可以理解為吸收和消化。在經歷了第一階段的操作和活動后，歸納總結這些活動的共同屬性，在頭腦中進行描述和反思，就會形成一種“程序”。此階段中學生將具體問題抽象化，形成抽象思維，抽象出概念所特有的性質。例如，學生通過計算認識到函數y=x3只不過是給定一個不同的x值就會得出相應的y值，進而理解了函數就是變量x和y之間的一種對應關系，這樣學生就已經完成了這種階段過程模式的建構。

3.第三階段——對象（object）階段

當概念發展到此階段時，教師要引導學生對“過程”階段所得出的各種屬性進一步總結提煉，使概念的本質屬性形成一個整體，進一步對概念進行嚴格定義，并進行數學符號化表示。[3]這樣“過程”便凝聚成了“對象”。“對象階段”使過程更加細致化，并將其作為一個新的獨立對象進行新的教學活動，通過其引導學生對概念進行進一步的界定，形成規范、準確、簡練的概念定義。例如，將函數的“過程”壓縮為一個“整體”，形成函數的“對象”，從而明確函數是什么樣的對應關系，形成更加抽象的函數概念。

4.第四階段——圖式（scheme）階段

作為對象的數學概念，是學生整個認知結構的一個節點，它需要與結構中其他知識節點構成的知識網絡逐漸建立聯系，形成新的知識網絡，即學生將“對象”與他原有的相關圖式進行整合，產生新的圖式結構，從而應用到數學實際中去。這樣通過持續的建構，學生的思維認知水平上升到更高的層次，對數學概念的理解和認知進一步深化。例如，函數概念形成“對象”后，結合集合、一次函數、二次函數等形成新的知識板塊，明確了定義域、值域、對應法則的定義和函數符號的意義。在此基礎上函數與方程、數列、導數等相關知識可形成一個龐大的知識網絡，構成了廣闊的應用背景。

APOS理論是一種建構主義的學習理論，它揭示出數學概念的學習是循序漸進的建構過程。它讓學生既體驗了概念形成的過程，又通過對象建構了的新心理圖式；既重視概念學習的特點，又關注了概念之間的邏輯體系。APOS理論解釋了數學概念學習的本質，是具有數學學科特色的學習理論。

二、“映射”教學設計為例來探討APOS理論的應用

1.活動階段

教師在簡單的復習引入之后，提出以下問題：

問題1：判斷下列對應關系f是否從集合A到B的函數，并說明理由。

①A={x|x是某高校高一年級學生}，B=N，f∶x→x的年齡；②A={x|x是三角形}，B={y|y是圓}，f∶x→x的外接圓；③A={x|x {0，1，2}}，B=N，f∶x→x的元素個數。

學生動手操作，然后回答。根據函數定義，由于三小題中集合A或集合B不是非空數集，故都不是函數。

2.過程階段

問題2：問題1中對應關系都不是從集合A到B的函數，但在解決過程中有沒有發現什么異同之處？

學生發現它們不是函數的原因是A或B不是數集。在教師適當引導下，進一步發現①②滿足函數定義中的“集合A中任何一個元素在集合B中有且僅有一個元素與之對應”條件在③中不滿足。至此，映射概念的本質屬性得以凸顯。

3.對象階段

問題3：上述①②中的對應關系就是我們今天要學習的問題：映射。你能敘述映射的定義嗎？

學生嘗試給映射下定義，教師適時糾正、補充，板書定義。

4.圖式階段

問題4：判斷下列對應關系f是否從集合A到B的映射，并說明理由。

①A=B=N，f∶x→y=|x-1|；②A={x|x是某一元二次函數}，B={x|x是數集}，

f∶x→x的值域；③A={x|x是圓}，B={y|y是三角形}， f∶x→x的內接三角形；④A={x|x是四邊形}，B={y|y是圓}，f∶x→x的外接圓。

師生共同討論，舉例從集合A到B的對應關系并說明是否映射，深化對映射概念的理解。

問題5：①映射和函數之間有何區別和聯系？②已知集合A=B={a，b，c}，

則滿足對任意x∈A，都有f[f（x）]=x的映射f∶A→B有多少個？

此問旨在加強映射與已學知識的聯系，讓學生明確映射不一定是函數，但函數一定是映射，培養綜合應用能力。

總之，APOS理論對數學概念教學有一定的借鑒作用和參考價值。教師可以在教學實踐中結合實際對該理論進行探索，不斷總結與反思，精心設計教學活動，以促進學生認知結構的優化與完善。

參考文獻：

[1]鮑建生，周 超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]喬連全.APOS：一種建構主義的數學學習理論[J].全球教育展望，2001，30（03） .

[3]賈 兵，陸學政.“APOS理論”指導下的高中數學概念教學[J].中學數學教學，2012（06）.

（作者單位：安徽師范大學）